向量语言表述线面的垂直、平行关系知识点题库

若直线l的方向向量为 $\text{[math]}$ ，平面α的法向量为 $\text{[math]}$ ，能使l∥α的是（　　）

A . $\text{[math]}$ =（1，0，0）， $\text{[math]}$ =（﹣2，0，0） B . $\text{[math]}$ =（1，3，5）， $\text{[math]}$ =（1，0，1） $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ =（0，2，1）， $\text{[math]}$ =（﹣1，0，﹣1） $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ =（1，﹣1，3）， $\text{[math]}$ =（0，3，1）

如图，在四棱锥O﹣ABCD中，OA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，OA=2，M、N、Q分别为OA、BC、CD的中点．

证明：DN⊥平面OAQ；

如图，在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=2，AB=6，E、F分别为A₁D₁、D₁C₁的中点．分别以DA、DC、DD₁所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz．

①求点E、F的坐标；

②求证：EF∥ACD₁ ．

如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD， $\text{[math]}$ ，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．

（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；

（Ⅱ）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（Ⅰ）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值．

已知A、B、C三点的坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于( )

A . 28 B . －28 C . 14 D . －14

如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

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（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值；
（3）已知点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上，且直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长．

在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，且满足 $\text{[math]}$ .

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（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值；
（3）在线段 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值是 $\text{[math]}$ ，若存在，求出 $\text{[math]}$ 的长；若不存在，请说明理由.

如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ 平面

$\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点．

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（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的大小．

如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 $\text{[math]}$ 倍， $\text{[math]}$ 为侧棱 $\text{[math]}$ 上的点.

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（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的大小；
（3）在（2）的条件下，侧棱 $\text{[math]}$ 上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .若存在，求 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，试说明理由.

在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，E ， F分别是BC ， $\text{[math]}$ 的中点，D在线段 $\text{[math]}$ 上，则下面说法中正确的有（）

A . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . 若D是 $\text{[math]}$ 上的中点，则 $\text{[math]}$ C . 直线EF与平面ABC所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ D . 直线BD与直线EF所成角最小时，线段BD长为 $\text{[math]}$

如图所示，多面体ABCDEF中， $\text{[math]}$ 平面ABCD ，四边形ABCD是菱形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，四边形BDEF是正方形．

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面AED；
（2）求直线AF与平面ECF所成角的正弦值；
（3）在线段EC上是否存在点P ，使得 $\text{[math]}$ 平面CEF？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．

已知直三棱柱 $\text{[math]}$ ，底面 $\text{[math]}$ 是边长为2的等边三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）证明： $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$ ；
（2）求锐二面角 $\text{[math]}$ 的平面角的余弦值.

已知直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为正三角形， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点.点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ .

（1）求证：直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

在正三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的周长为定值 B . 当 $\text{[math]}$ 时，三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为定值 C . 当 $\text{[math]}$ 时，有且仅有一个点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 时，有且仅有一个点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$

以下命题正确的是（）

若 $\text{[math]}$ 是平面 $\text{[math]}$ 的一个法向量， $\text{[math]}$ 是平面 $\text{[math]}$ 的一个法向量， $\text{[math]}$ 是直线b上不同的两点，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ D . 设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.在如图所示的“阳马” $\text{[math]}$ 中，侧棱 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）若平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的二面角为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .

如图，在四棱锥P-ABCD中， $\text{[math]}$ 平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E、Q分别在棱BC、CP上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面PAC；
（2）求直线QE与平面PAC所成角的正弦值.

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