向量语言表述线面的垂直、平行关系知识点题库

如图，斜线段AB与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为60 $\text{[math]}$ ， B为斜足，平面 $\text{[math]}$ 上的动点P满足 $\text{[math]}$ PAB=30 $\text{[math]}$ ，则点P的轨迹是（）

A . 直线 B . 抛物线 C . 椭圆 D . 双曲线的一支

如图，单位正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，下列说法错误的是（　　）

A . BD₁⊥B₁C B . 若 $\text{[math]}$ ，则PE∥A₁B C . 若点B₁、A、D、C在球心为O的球面上，则点A、C在该球面上的球面距离为 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则A₁P、BE、AD三线共点

如果直线l的方向向量是 $\text{[math]}$ =(-2,0,1)，且直线l上有一点P不在平面α上，平面α的法向量是 $\text{[math]}$ =(2,0,4)，那么（　　）

A . l⊥α B . l∥α C . l⊂α D . l与α斜交

解答题。

（1）如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．
（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）

如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．

（Ⅰ）求证：AB⊥DE；

（Ⅱ）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；

（Ⅲ）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出 $\text{[math]}$ ；若不存在，说明理由．

如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AM⊥平面A₁BD，垂足为M，以下四个结论中正确的个数为（）

①AM垂直于平面CB₁D₁；②直线AM与BB₁所成的角为45°；③AM的延长线过点C₁；④直线AM与平面A₁B₁C₁D₁所成的角为60°

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

如图，已知 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为等边三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点.

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（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值的大小.

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，且四边形 $\text{[math]}$ 为直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）当四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ 时，求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的大小；
（2）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

已知直线l的方向向量为 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 的法向量为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ （）

A . 2 B . 3 C . 4 D . 5

如图已知四棱台 $\text{[math]}$ 的上底面和下底面都是正方形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

（1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的平面角的大小.

正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为2， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是棱 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，下列结论正确的有（）

A . $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$ C . 过 $\text{[math]}$ 三点所得正方体的截面的面积为 $\text{[math]}$ D . 面 $\text{[math]}$ 与面 $\text{[math]}$ 所成角的正切值为 $\text{[math]}$

如图，在多面体ABCDEF中，平面 $\text{[math]}$ 平面ABCD．四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是边长为1的等边三角形， $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）线段BD上是否存在点N，使得直线 $\text{[math]}$ 平面AFN？若存在，求 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．

在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中，以下向量可以作为平面 $\text{[math]}$ 法向量的是．(填序号)

① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ .

如图，四边形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都是边长为6的正方形， $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 是矩形，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$

（1）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角的正弦值；
（2）在线段 $\text{[math]}$ 上是否存在一点M，使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；若存在，求出 $\text{[math]}$ 的长，若不存在，请说明理由．

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形， $\text{[math]}$ ， AP⊥平面ABCD， $\text{[math]}$ ，点M、N分别为线段BC和PD的中点．

（1）求证：AN⊥平面PDM；
（2）求平面PDM与平面PDC夹角的正弦值；
（3）在线段PC(不包括端点)上是否存在一点E，使得直线BE与平面PDC所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ，若存在，求出线身PE的长：若不存在，请说明理由.

如图，在正四棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是底面 $\text{[math]}$ 的中心， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ // $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ //平面 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$

已知点P为正方体 $\text{[math]}$ 内及表面一点，若 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 若 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ 时，则点P位于正方体的表面 B . 若点P位于正方体的表面，则三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积不变 C . 存在点P，使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的夹角 $\text{[math]}$

设直线l的方向向量为 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 的一个法向量为 $\text{[math]}$ ，若直线 $\text{[math]}$ //平面 $\text{[math]}$ ，则实数z的值为（）

A . -5 B . 5 C . -1 D . 1

在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E、F分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）求直线AE与 $\text{[math]}$ 所成角的大小；
（2）判断直线 $\text{[math]}$ 与平面ABF是否垂直．

直线a的方向向量为 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的法向量分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列命题为真命题的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ； B . 若 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ； C . 若 $\text{[math]}$ ，则直线a与平面 $\text{[math]}$ 所成角的大小为 $\text{[math]}$ ； D . 若 $\text{[math]}$ ，则平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ．

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