题目

如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．（Ⅰ）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；（Ⅲ）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由．答案：（Ⅰ）证明：取AB中点O，连接EO，DO．因为EB=EA，所以EO⊥AB．因为四边形ABCD为直角梯形，AB=2CD=2BC，AB⊥BC，所以四边形OBCD为正方形，所以AB⊥OD．因为EO∩OD=O所以AB⊥平面EOD．因为ED⊂平面EOD所以AB⊥ED．（Ⅱ）解：因为平面ABE⊥平面ABCD，且 EO⊥AB，平面ABE∩平面ABCD=AB所以EO⊥平面ABCD，因为OD⊂平面ABCD，所以EO⊥OD．由OB，OD，OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．因为△EAB为等腰直角三角形，所以OA=OB=OD=OE，设OB=1，所以O（0，0，0），A（﹣1，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1）．所以 EC→=(1,1,−1) ，平面ABE的一个法向量为 OD→=(0,1,0) ．设直线EC与平面ABE所成的角为θ，所以，即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为．（Ⅲ）解：存在点F，且 EFEA=13 时，有EC∥平面FBD证明如下：由，，所以．设平面FBD的法向量为 =（a，b，c），则有所以取a=1，得 =（1，1，2）．因为 EC→⋅V→ =（1，1，﹣1）•（1，1，2）=0，且EC⊄平面FBD，所以EC∥平面FBD．即点F满足 EFEA=13 时，有EC∥平面FBD．

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