题目

如图，在四棱锥中，底面，底面为直角梯形，，，，，是的中点. （1）证明：平面；（2）求二面角的大小. 答案：证明： ∵PA⊥ 平面 ABCD ， AB⊂ 平面 ABCD ， AD⊂ 平面 ABCD ， ∴PA⊥AB ， PA⊥AD ，又 ∵AB⊥AD ， ∴AB 、 AD 、 AP 两两互相垂直，以 A 为坐标原点，分别以 AB,AD,AP 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 A−xyz ，设 AB=1 ，则 PA=BC=1 ， AD=2 ，则 A(0,0,0) ， B(1,0,0) ， C(1,1,0) ， D(0,2,0) ， P(0,0,1) ， E(12,0,12) ，证明： AE→=(12,0,12) ， PB→=(1,0,−1) ， PC→=(1,1,−1) ，因为 AE→⋅PB→=12−12=0 ， AE→⋅PC→=12−12=0 ，所以 AE→⊥PB→ ， AE→⊥PC→ ，即 AE⊥PB ， AE⊥PC ，又因为 PB∩PC=P ， PB⊂ 平面 PBC ， PC⊂ 平面 PBC ，所以 AE⊥ 平面 PBC 解：由（1）得平面 PBC 的法向量为 AE→=(12,0,12) ，设平面 PCD 的法向量为 n→=(x,y,z) ，由 CD→=(−1,1,0),PD→=(0,2,−1) 得， {n⇀⋅CD⇀=−x+y=0n⇀⋅PD⇀=2y−z=0 ，解得 {x=yz=2y ，令 y=1 ，则平面 PCD 的一个法向量 n→=(1,1,2) ，则 cos<AE→,n→>=AE→⋅n→|AE→||n→|=12+122×6=32 ，设二面角 B−PC−D 的平面角为 θ ，由题知 cosθ=−cos<AE→,n→>=−32 ，所以二面角 B−PC−D 的平面角为 56π

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