题目

如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，AC BC,且AC=BC. （1） 求证：AM 平面EBC； （2） 求直线AB与平面EBC所成角的大小， （3） 求二面角A-BE-C的大小. 答案： 解：如图所示： 建立空间直角坐标系A-xy，设 EA=AC=BC=2 ， 则 A(0,0,0),C(0,2,0),E(0,0,2),M(0,1,1) 所以 AM⇀=(0,1,1),EC⇀=(0,2,−2),CB⇀=(2,0,0)   ∴ AM⇀⋅EC⇀=0 ， AM⇀⋅CB⇀=0 ，∴ AM⊥EC ， AM⊥CB . ∴ AM⊥ 平面 EBC 解：∵ AM⊥ 平面 EBC ，∴ AM⇀ 为平面 EBC 的一个法向量， ∵ AM⇀=(0,1,1),AB⇀=(2,2,0) ，∴ cos(AB⇀,AM⇀)=AB⇀⋅AM⇀|AB⇀||AM⇀|=12 ，∴ AB⇀,AM⇀=60° ， ∴直线 AB 与平面 EBC 所成的角的大小为30° 解：面 BCE 的法向量为 AM⇀=(0,1,1) ，面 ABE 的法向量为 m⇀=(−1,1,0) ， ∴ cosAM⇀,m⇀=12 故二面角 A−BE− 的大小为60°

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