四边形-动点问题知识点题库

操作与证明：

如图1，已知P是矩形ABCD的边BC上的一个点（P与B、C两点不重合），过点P作射线PE⊥AP，在射线PE上截取线段PF，使得PF=AP．

（1）过点F作FG⊥BC交射线BC点G．（尺规作图，保留痕迹，不写作法）
（2）求证：FG=BP．
探究与计算：
（3）如图2，若AB=BC，连接CF，求∠FCG的度数；
（4）在（3）的条件下，当 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 时，求sin∠CFP的值．

如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AB在x轴上，点B坐标（﹣3，0），点C在y轴正半轴上，且sin∠CBO= $\text{[math]}$ ，点P从原点O出发，以每秒一个单位长度的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t（0≤t≤5）秒，过点P作平行于y轴的直线l，直线l扫过四边形OCDA的面积为S．

（1）求点D坐标．
（2）求S关于t的函数关系式．
（3）在直线l移动过程中，l上是否存在一点Q，使以B、C、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，在矩形ABCD中，AD＝3，DC＝4，动点P在线段DC上以每秒1个单位的速度从点D向点C运动，过点P作PQ∥AC交AD于Q，将△PDQ沿PQ翻折得到△PQE. 设点P的运动时间为t（s）．

（1）当点E落在边AB上时，t的值为；
（2）设△PQE与△ADC重叠部分的面积为s，求s与t的函数关系式；
（3）如图2，以PE为直径作⊙O．当⊙O与AC边相切时，求CP的长．

如图，AC⊥AB，射线BG⊥AB，AB=12cm，AC=3cm.动点P从点B向点A运动，运动速度为acm/s；动点E从点B出发，沿着射线BG运动，运动速度为bcm/s. P，E同时出发，连接PC，EP，EC，运动时间为t.

（1）若b=2，则t为何值时，CE的长度为13cm；
（2）若点E为定点且BE=12，a=1，则t为何值时，△PEC是以PE为腰的等腰三角形；
（3）当a∶b为何值时，△ACP和△BPE全等.

如图，矩形ABCD中，AD＝10，CD＝15，E是边CD上一点，且DE＝5，P是射线AD上一动点，过A，P，E三点的⊙O交直线AB于点F，连结PE，EF，PF，设AP＝x.

（1）当x＝5时，求AF的长.
（2）在点P的整个运动过程中.
①tan∠PFE的值是否改变？若不变，求出它的值；若改变，求出它的变化范围；

②当矩形ABCD恰好有2个顶点落在⊙O上时，求x的值.
（3）若点A，H关于点O成中心对称，连结EH，CH.当△CEH是等腰三角形时，求出所有符合条件的x的值.(直接写出答案即可)

已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A、C、D的坐标分别为A（9，0）、C（0，4），D（5，0），点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿O→C→B→A运动，点P的运动时间为t秒.

（1）当t=5时， OP长为；
（2）当点P在BC边上时，OP+PD有最小值吗？如果有，请算出该最小值，如果没有，请说明理由；
（3） P在运动过程中，一定有△ODP是等腰三角形，求出P点坐标。

如图①，在 $\text{[math]}$ 中，AB=3，AD=6．动点P沿AD边以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长度的速度从点A向终点D运动．设点P运动的时间为 $\text{[math]}$ 秒．

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（1）线段PD的长为（用含t的代数式表示）．
（2）当CP平分∠BCD时，求t的值．
（3）如图②，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在CB上往返运动．P、Q两点同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动。当以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的值．

如图

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（1）（问题发现）
如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF ．

填空：①线段CF与DG的数量关系为；

②直线CF与DG所夹锐角的度数为．
（2）（拓展探究）
如图②，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明．
（3）（解决问题）
如图③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝4，O为AC的中点．若点D在直线BC上运动，连接OE ，则在点D的运动过程中，线段OE长的最小值为（直接写出结果）．

四边形 $\text{[math]}$ 是正方形，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）依题意补全图1；
（2）直接写出 $\text{[math]}$ 的度数；
（3）连接 $\text{[math]}$ ，用等式表示线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并证明．

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点O是边AC的中点．

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（1）在图1中，将△ABC绕点O逆时针旋转n°得到△A₁B₁C₁ ，使边A₁B₁经过点C．求n的值．
（2）将图1向右平移到图2位置，在图2中，连结AA₁、AC₁、CC₁ ．求证：四边形AA₁CC₁是矩形；
（3）在图3中，将△ABC绕点O顺时针旋转m°得到△A₂B₂C₂ ，使边A₂B₂经过点A，连结AC₂、A₂C、CC₂ ．
①请你直接写出m的值和四边形AA₂CC₂的形状；

②若AB＝ $\text{[math]}$ ，请直接写出AA₂的长．

如图，E ， F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF ．连接CF交BD于点G ，连接BE交AG于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．

实践与探究

（1）操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD ，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M ，折痕为AE ，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF ，则 $\text{[math]}$ 度．
（2）操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N ．我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同．当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则 $\text{[math]}$ 度．
（3）在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：
设AM与NF的交点为点P．求证 $\text{[math]}$ ：．
（4）若 $\text{[math]}$ ，则线段AP的长为．

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC ， ∠B=90°，AD=8cm，AB=6cm，BC=10cm，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发沿BC方向以2cm/s的速度向点C运动，P ， Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒．

（1）当t等于多少时，四边形ABPQ的面积为18cm²；
（2）若以P ， Q ， C ， D为顶点的四边形是平行四边形，求t的值；
（3）当0<t<5时，若DQ≠DP ，当t为何值时，ADPQ是等腰三角形？

如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P是线段BC上一动点，连接AP并将AP绕P顺时针旋转90°得到线段PE.连接DE，直线DE交BC于F.

（1）若BP＝1，求PE的长；
（2）设BP＝x，四边形APED的面积为S，试求S与x之间的函数关系式；
（3）当x为何值时，四边形APED的面积S最小，并求出最小值.

如图，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒．

（1）填空：BQ=cm，PB=cm；（用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm²？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm．动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）．

（1）当0＜t＜10.5时，是否存在点P，使四边形PQDC是平行四边形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由；
（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等于60cm²？
（3）当0＜t＜10.5时，是否存在点P，使△PQD是等腰三角形（不考虑QD＝PD）？若存在，请直接写出t的值．

如图，在平面直角坐标系中，四边形 $\text{[math]}$ 是边长为6正方形，A点在x轴负半轴上，C点在y轴负半轴上，有一动点P自O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿 $\text{[math]}$ 运动，设运动时间为t秒．

（1）直接写出点A的坐标为．
（2）求t为多少秒时， $\text{[math]}$ 为等腰三角形？并直接写出此时P点的坐标．
（3）设 $\text{[math]}$ 的面积为S，当 $\text{[math]}$ 时，求S与t之间的函数关系式？

如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF.连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是.

如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，M为BC的中点，OA、OB的长分别是一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个根 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点P从点D出发以每秒1个单位长度的速度沿折线 $\text{[math]}$ 向点B运动，到达B点停止．设运动时间为t秒， $\text{[math]}$ 的面积为S．

（1）求点C的坐标；
（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使 $\text{[math]}$ 是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，正方形ABCD边长为4，点P在对角线AC上（不含端点），以PA，PB为邻边作 $\text{[math]}$ ，则对角线PQ长度的最小值为．

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