四边形-动点问题知识点题库

某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8．

问题思考：

如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF．

（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值．
（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点K，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由．
问题拓展：
（3）
如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8．若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向点D运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长．
（4）
如图3，在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BN=1，点G、H分别是边CD、EF的中点，请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值．

如图，菱形 $\text{[math]}$ 的边长是4厘米， $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 以1厘米/秒的速度自 $\text{[math]}$ 点出发沿 $\text{[math]}$ 方向运动至 $\text{[math]}$ 点停止，动点 $\text{[math]}$ 以2厘米/秒的速度自 $\text{[math]}$ 点出发沿折线 $\text{[math]}$ 运动至 $\text{[math]}$ 点停止若点 $\text{[math]}$ 同时出发运动了 $\text{[math]}$ 秒，记 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，下面图象中能表示 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的函数关系的是( )

A .

B .

C .

D .

如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA＝ $\text{[math]}$ cm，OC＝8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒 $\text{[math]}$ cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．

（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；
（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；
（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线y＝ $\text{[math]}$ x²＋bx＋c经过B、P两点，过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．

如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．

（1）当t＝2时，线段PQ的中点坐标为．
（2）当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值；
（3）连接OB，若以PQ为直径作⊙M，则在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得⊙M与OB相切，若存在，求出时间t；若不存在，请说明理由．

如图，在长方形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x²-7x+12=0的两个根.点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC边 A→B→C→A的方向运动，运动时间为t（秒）.

（1）求AB与BC的长；
（2）当点P运动到边BC上时，试求出使AP长为 $\text{[math]}$ 时运动时间t的值；
（3）当点P运动到边AC上时，是否存在点P，使△CDP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由.

如图，在矩形ABCD中，对角线相交于点O，⊙M为△BCD的内切圆，切点分别为N，P，Q，DN＝4，BN＝6．

（1）求BC，CD；
（2）点H从点A出发，沿线段AD向点D以每秒3个单位长度的速度运动，当点H运动到点D时停止，过点H作HI∥BD交AC于点I，设运动时间为t秒．
①将△AHI沿AC翻折得△A $\text{[math]}$ I，是否存在时刻t，使点 $\text{[math]}$ 恰好落在边BC上？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由；

②若点F为线段CD上的动点，当△OFH为正三角形时，求t的值．

如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点M，已知BC＝5，点E在射线BC上，tan∠DCE＝ $\text{[math]}$ ，点P从点B出发，以每秒2 $\text{[math]}$ 个单位沿BD方向向终点D匀速运动，过点P作PQ⊥BD交射线BC于点O，以BP、BQ为邻边构造▱PBQF，设点P的运动时间为t（t＞0）．

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（1） tan∠DBE＝；
（2）求点F落在CD上时t的值；
（3）求▱PBQF与△BCD重叠部分面积S与t之间的函数关系式；
（4）连接▱PBQF的对角线BF，设BF与PQ交于点N，连接MN，当MN与△ABC的边平行（不重合）或垂直时，直接写出t的值．

如图，在正方形ABCD中，AB＝3，M是CD边上一动点（不与D点重合），点D与点E关于AM所在的直线对称，连接AE ， ME ，延长CB到点F ，使得BF＝DM ，连接EF ， AF ．

（1）依题意补全图1；
（2）若DM＝1，求线段EF的长；
（3）当点M在CD边上运动时，能使△AEF为等腰三角形，直接写出此时tan∠DAM的值．

如图，四边形OABC为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，B点的坐标是（4，6），将矩形沿直线DE折叠，使点C落在AB边上点F处，折痕分别交OC，BC于点E、D，且D点坐标是（ $\text{[math]}$ ，6）.

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（1）求F点的坐标；
（2）如图2，P点在第二象限，且 $\text{[math]}$ ，求P点的坐标；
（3）若M点为x轴上一动点，N点为直线DE上一动点， $\text{[math]}$ 为以FN为底边的等腰直角三角形，求N点的坐标.

如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝120°，AB＝4，AD＝2，点O为对称中心，点M从点A出发沿AB向点B运动，到点B停止运动，连接MO并延长交CD于点N，则四边形AMCN形状的变化依次为（）

A . 平行四边形→正方形→平行四边形→矩形→平行四边形 B . 平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形 C . 平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形 D . 平行四边形→菱形→正方形→矩形→平行四边形

（1）探究发现：
如图1，将两块完全相同的含 $\text{[math]}$ 的直角三角板斜边重合，拼成四边形 $\text{[math]}$ ．P是对角线 $\text{[math]}$ 上一动点， $\text{[math]}$ ，且点E在 $\text{[math]}$ 延长线上， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F，连接 $\text{[math]}$ ．通过探究可以求出： $\text{[math]}$ 的度数 $\text{[math]}$ ．
（2）拓展延伸：

若将“含 $\text{[math]}$ 的直角三角板”换成“含 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的直角三角板”，其他条件不变，如图2，直接写出 $\text{[math]}$ 的度数 $\text{[math]}$ ；
（3）若将“含 $\text{[math]}$ 的直角三角形板”换成“含 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的直角三角板”，将“且点E在 $\text{[math]}$ 延长线上”换成“且点E在线段 $\text{[math]}$ 上（不与点A，D重合）”，其他条件不变，如图3，求 $\text{[math]}$ 的度数（请说明理由）；

如图，在矩形ABCD中，AB＝4 $\text{[math]}$ ，AD＝4，点E为线段CD的中点，动点F从点C出发，沿C→B→A的方向在CB和BA上运动，将矩形沿EF折叠，点C的对应点为C'，当点C'恰好落在矩形的对角线上时（不与矩形顶点重合），点F运动的距离为.

如图1，在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，现同时将点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别向上平移4个单位，再向右平移3个单位，分别得到点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对应点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）直接写出 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 四点的坐标： $\text{[math]}$ ()， $\text{[math]}$ ()， $\text{[math]}$ ()， $\text{[math]}$ ()；
（2）连接 $\text{[math]}$ ，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积；
（3）如图2，若点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上移动时（ $\text{[math]}$ 不与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合）时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 存在怎样的关系，并说明理由．

如图，在直角坐标系中，一次函数的图象l₁与y轴交于点A（0，2），与一次函数y＝x﹣3的图像l₂交于点E（m ， ﹣5）．

（1）求m的值及l₁的表达式．
（2）直线l₁与x轴交于点B ，直线l₂与y轴交于点C ，求四边形OBEC的面积．
（3）如图，已知矩形MNPQ ， PQ＝2，NP＝1，M（a ， 1），矩形MNPQ的边PQ在x轴上平移，若矩形MNPQ与直线l₁或l₂有交点，直接写出a的取值范围．

如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如果点 $\text{[math]}$ 由点 $\text{[math]}$ 出发沿 $\text{[math]}$ 方向向点 $\text{[math]}$ 匀速运动，同时点 $\text{[math]}$ 由点 $\text{[math]}$ 出发沿 $\text{[math]}$ 方向向点 $\text{[math]}$ 匀速运动，它们的速度分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，设运动时间为 $\text{[math]}$ ．

（1）连接 $\text{[math]}$ ，若运动时间 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；
（2）连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；
（3）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

如图，平行四边形ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒3cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），设运动时间为t秒．在运动以后，当t=秒时，以P，D，Q，B四点恰好组成平行四边形．

如图1，已知在Rt△ABC中，AB＝5cm，BC＝12cm，以BC为边作正方形BCDE ，点P从点A出发，沿ABE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CA方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ ．设运动时间为t（s）（0＜t＜6.5），解答下列问题：

（1）当t为何值时，PQ∥BC？
（2）如图2，连接PQ ，交BC于点F ，是否存在某一时刻t ，使△BFP与△QFC相似？
（3）用含t的代数式表示出五边形PEDCQ的面积．

如图，正方形 $\text{[math]}$ 的边长为a，点E在边 $\text{[math]}$ 上运动（不与点A，B重合）， $\text{[math]}$ ，点F在射线 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点G，连接 $\text{[math]}$ ．则下列结论：① $\text{[math]}$ ，② $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$ ，③ $\text{[math]}$ ；④当 $\text{[math]}$ 时，G是线段 $\text{[math]}$ 的中点，其中正确的结论是（）

A . ①②③ B . ①④ C . ①③④ D . ①②③④

如图1，正方形 $\text{[math]}$ 中，点O是对角线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的交点，点E、F分别是边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

（1） $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 有怎样的数量关系和位置关系？
（2）如图2

若点E、F分别是边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的任意点，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 还有（1）中的数量关系和位置关系吗？如果有，请加以证明，如果没有，请说明理由
（3）在图2中，若正方形 $\text{[math]}$ 的边长为2，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积．