三角形全等的判定（SAS）知识点题库

我们定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．

（1）如图1，在△ABC中，AB=BC，且BC≠AC，请你在图1中用尺规作图作出△ABC的一条“等分积周线”；
（2）在图1中，过点C能否画出一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法；若不能，请说明理由．
（3）如图3，在△ABC中，AB=BC=6cm，AC=8cm，请你不过△ABC的顶点，画出△ABC的一条“等分积周线”，并说明理由．

如图，已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为 $\text{[math]}$ ，对称轴是直线 $\text{[math]}$ .

（1）求该二次函数的表达式；
（2）如图，连接AC，若点P是该抛物线上一点，且 $\text{[math]}$ ，求点P的坐标；
（3）如图，点P是该抛物线上一点，点Q为射线CB上一点，且P、Q两点均在第四象限内，线段AQ与BP交于点M，当 $\text{[math]}$ ，且△ABM与△PQM的面积相等时，请问线段PQ的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.

已知在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 引一条射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点.

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（1）如图1， $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .
请根据以下思维框图，写出证明过程.
（2）如图2，已知 $\text{[math]}$ .
①当射线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内，求 $\text{[math]}$ 的度数.

②当射线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 下方，请问 $\text{[math]}$ 的度数会变吗？若不变，请说明理由；若改变，请直接写出 $\text{[math]}$ 的度数.
（3）在第（2）题的条件下，作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.

在 $\text{[math]}$ 中，AB=AC，点D是直线BC上一点(不与B、C重合)，以AD为一边在AD的右侧作 $\text{[math]}$ ，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE

（1）如图1，当点D在线段BC上，且∠BAC=90°.
①说明： $\text{[math]}$ ；

②线段CE、CD、BC的数量关系为_▲_.
（2）如图2，当点D在直线BC上，设∠BAC=α，∠BCE=β.则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论.

如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为对角线 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

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（1）求证： $\text{[math]}$ ．
（2）当 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求菱形的边长．

如图1，点C在线段AB上，（点C不与A、B重合），分别以AC、BC为边在AB同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点P．

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（1）观察猜想：
①AE与BD的数量关系是；

②∠APD的度数为．
（2）数学思考：如图2，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明；
（3）拓展应用：如图3，点E为四边形ABCD内一点，且满足∠AED＝∠BEC＝90°，AE＝DE，BE＝CE，对角线AC、BD交于点P，AC＝10，则四边形ABCD的面积为．

已知：如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ // $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且点B、E、C、F在同一条直线上.求证： $\text{[math]}$ // $\text{[math]}$ .

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如图所示，点O是等边三角形 $\text{[math]}$ 内一点，∠AOB=110°， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边作等边三角形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$

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（1）当 $\text{[math]}$ =150°时，试判断 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由；
（2）探究：当 $\text{[math]}$ 为多少度时， $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为底的等腰三角形？

已知，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为射线 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

（1）如图1，若点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；
（2）如图2，当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上时，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ；
（3）如图3，当点 $\text{[math]}$ 在射线 $\text{[math]}$ 上运动时，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上且 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的最小值．

在平行四边形 $\text{[math]}$ 中，以 $\text{[math]}$ 为腰向右作等腰 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为斜边向左作 $\text{[math]}$ ，且三点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在同一直线上.

（1）如图①，若点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求四边形 $\text{[math]}$ 的周长；
（2）如图②，若点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
（3）如图③，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点，在五边形 $\text{[math]}$ 内作等边 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的最小值.

已知：在平行四边形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 并延长至点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

（1）如图1，求证： $\text{[math]}$ ；
（2）如图2，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的四个平行四边形，使写出每个平行四边形的面积都等于平行四边形 $\text{[math]}$ 面积的一半．

如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CE⊥AB，△BDC为等腰直角三角形，∠BDC＝90°，BD＝CD；CE与BD交于F，连AF，M为BC中点，连接DM交CE于N.请说明：

（1） △ABD≌△NCD；
（2） CF＝AB+AF.

如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．

（1）如图1，求证：∠BAF＝∠DAE；
（2）如图2，若∠ABC＝45°，AE⊥BC，连接BD分别交AE，AF于G，H，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有的只含有一个3∠ABD的三角形．

如图，线段AB，DE的垂直平分线交于C，∠ABC=∠EDC=74°，∠EBD=118°.则∠AEB=（）

A . 72° B . 74° C . 86° D . 88°

如图，点O为正方形ABCD对角线BD的中点，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使 $\text{[math]}$ ，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC.则以下五个结论中① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ，正确结论有（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中点，延长 AE 至 G ，使 EG ＝AE ，连接 CG ．

（1）求证： △ABE≌△CDF ；
（2）当 AB 与 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由.

如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O．E，F 分别为 AC，BD 上一点，且 OE=OF，连接 AF，BE，EF，若∠AFE=25°，则∠CBE 的度数为( )

A . 50° B . 55° C . 65° D . 70°

$\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上两定点， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一动点，分别以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为边在 $\text{[math]}$ 上方同侧作正方形 $\text{[math]}$ 、正方形 $\text{[math]}$ ．

（1）如图①， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．
①求证 $\text{[math]}$ ；

②当点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上运动时，线段 $\text{[math]}$ 的长度是否存在最小值，若存在，请直接写出答案；若不存在，请说明理由；
（2）如图②， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上运动时，线段 $\text{[math]}$ 的长度是否存在最小值，若存在，请用直尺与圆规作出此时点 $\text{[math]}$ 的位置；若不存在，请说明理由．