题目

已知，在 中， ， ， 为射线 上一点，连接 交 于点 ． （1） 如图1，若点 与点 重合，且 ，求 的长； （2） 如图2，当点 在 边上时，过点 作 于 ，延长 交 于 ，连接 ．求证： ； （3） 如图3，当点 在射线 上运动时，过点 作 于 ， 为 的中点，点 在 边上且 ，已知 ，请直接写出 的最小值． 答案： 解：如图1中， ∵AB⊥BD ， ∴∠ABD=90° ， ∵AB=BD ， ∠BAD=45° ， ∴∠BDA=∠BAD=45° ， ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴E 、 C 重合时 BF=12BD=12AB ， 在 RtΔABF 中， ∵AF2=AB2+BF2 ， ∴(5)2=(2BF)2+BF2 ， ∴BF=1 ， AB=2 ， ∴AB=2 ； 证明：如图2中，在 AF 上截取 AK=HD ，连接 BK ， ∵AB⊥BD ， DG⊥AE ， ∴∠ABF=∠FGD=90° ， ∵∠AFD=∠ABF+∠2=∠FGD+∠3 ， ∠ABF=∠FGD=90° ， ∴∠2=∠3 ， 在 ABK 和 ΔDBH 中， {AB=BD∠2=∠3AK=HD ， ∴ΔABK≅ΔDBH ， ∴BK=BH ， ∠6=∠1 ， ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD//BC ， ∴∠4=∠1 ， 由（1）知 ∠4=45° ， ∴∠l=∠6=45° ， ∴∠5=∠ABD−∠6=45° ， ∠5=∠1 ， 在 ΔFBK 和 ΔFBH 中， {BF=BF∠5=∠1BK=BH ， ∴ΔFBK≅ΔFBH ， ∴KF=FH ， ∵AF=AK+KF ， ∴AF=DH+FH ； 解： MN 的最小值为 149−52 ．

查看本题答案和解析