用空间向量求直线间的夹角、距离知识点题库

如图，A₁B₁C₁—ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D₁、F₁分别是A₁B₁、A₁C₁的中点，若BC=CA=CC₁ ，则BD₁与AF₁所成角的余弦值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，棱AB，BC，BB₁两两垂直且长度相等，点P在线段A₁C₁上运动，异面直线BP与B₁C所成的角为θ，则θ的取值范围是（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，正方形ACDE与等腰直角△ACB所在的平面互相垂直，且AC=BC=2，∠ACB=90°，F、G分别是线段AE、BC的中点，求

（1）求三棱锥C﹣EFG的体积；

（2）AD与GF所成角的余弦值．

如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，PA是四棱锥的高，PB与DC所成角为45°，F是PB的中点，E是BC上的动点．

（Ⅰ）证明：PE⊥AF；

（Ⅱ）若BC=2BE=2 $\text{[math]}$ AB，求直线AP与平面PDE所成角的大小．．

如图，在棱长为3的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，A₁E=CF=1．

（1）求两条异面直线AC₁与D₁E所成角的余弦值；
（2）求直线AC₁与平面BED₁F所成角的正弦值．

在如图所示的三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ⊥底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点． $\text{[math]}$ ＝2， $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＝2. 则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为．

在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

已知圆锥的顶点为 $\text{[math]}$ ，底面圆心为 $\text{[math]}$ ，半径为 $\text{[math]}$ ．

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（1）设圆锥的母线长为 $\text{[math]}$ ，求圆锥的体积；
（2）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是底面半径，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，如图．求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角的大小．

如图，已知 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$

（1）求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积；
（2）设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）

如图，在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点．

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（1）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值；
（2）棱 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ∥平面 $\text{[math]}$ ？请证明你的结论；
（3）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值；

如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，PA⊥底面ABCD ， AD∥BC ， BC＝2AD＝2AB＝2DC＝2PA＝2，对角线AC与BD交于O点，连接PO.

（1）求证：AC⊥PB；
（2）过B点作一直线l平行于PC ，设Q为直线l上除B外的任意点，设直线PQ与平面PAC所成角为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

如图所示，已知正三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的各条棱长都相等，M是侧棱CC₁的中点，则异面直线AB₁和BM所成的角的大小是（）

A . 60° B . 45° C . 90° D . 30°

如图，在直四棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，M为 $\text{[math]}$ 的中点，点N在线段AD上.

（1）当 $\text{[math]}$ 时，求异面直线MN和 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值；
（2）当AN为何值时，直线MN与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ？

在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为正三角形，且平面 $\text{[math]}$ 平面ABCD.

（1）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值；
（2）线段PB上是否存在一点M（不含端点），使得异面直线DM和PE所成的角的余弦值为 $\text{[math]}$ ？若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由.

在正方体 $\text{[math]}$ 中O为面 $\text{[math]}$ 的中心， $\text{[math]}$ 为面A₁B₁C₁D₁的中心.若E为 $\text{[math]}$ 中点，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，在正三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点．

（1）在侧棱 $\text{[math]}$ 上作出点 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，并给出证明；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值及点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离．

在正方体 $\text{[math]}$ 中，M，N分别为AD， $\text{[math]}$ 的中点，O为侧面 $\text{[math]}$ 的中心，则异面直线MN与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，棱长为1的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点（不含端点），下列结论中正确的是（）

A . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为定值 B . 平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角可能是 $\text{[math]}$ D . 平面 $\text{[math]}$ 截正方体所得的截面可能是直角三角形

已知空间中三点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列说法不正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是共线向量 B . 与 $\text{[math]}$ 同向的单位向量是 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值是 $\text{[math]}$ D . 平面 $\text{[math]}$ 的一个法向量是 $\text{[math]}$

如图，已知长方体 $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ＝1，直线BD与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为30°，AE垂直BD于E，F为 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）求异面直线AE与BF所成的角的余弦；
（2）求点A到平面BDF的距离．

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