用空间向量求直线间的夹角、距离知识点题库

如图，在棱长为3的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，A₁E=CF=1．

（1）求两条异面直线AC₁与D₁E所成角的余弦值；
（2）求直线AC₁与平面BED₁F所成角的正弦值．

如图，在各棱长均为2的正三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为棱 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点，其中， $\text{[math]}$ 更靠近 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .

（1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ，求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值.

如图，几何体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是边长为2的正方形， $\text{[math]}$ 为直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

图片_x0020_100012

（1）求异面直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 所成角的大小；
（2）求几何体 $\text{[math]}$ 的体积；
（3）若平面ABCD内有一经过点B的曲线 $\text{[math]}$ ，该曲线上的任一动点都满足 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的大小恰等于 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角.试判断曲线 $\text{[math]}$ 的形状并说明理由.

如图，直四棱柱 $\text{[math]}$ 的底面是菱形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点.

（1）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的平面角的正弦值.

设动点P在棱长为1的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的对角线BD₁上，记 $\text{[math]}$ ＝λ.当∠APC为钝角时，λ的取值范围是．

图片_x0020_1402680661

将正方形 $\text{[math]}$ 沿对角线 $\text{[math]}$ 折成一个直二面角 $\text{[math]}$ ，则异面直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为正方形， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点.

图片_x0020_100019

（1）求直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值；
（2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值；
（3）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值；
（2）点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，当 $\text{[math]}$ 为何值时，直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ？

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，且四边形 $\text{[math]}$ 为直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）当四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ 时，求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的大小；
（2）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

如图，在正四棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点．

图片_x0020_208968984

（1）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值；
（2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．

如图所示，在正方体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上移动，异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角最小时，其余弦值为.

图片_x0020_1172940349

如图，已知三棱锥 $\text{[math]}$ 的侧棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两两垂直，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值；
（2）求点 $\text{[math]}$ 到面 $\text{[math]}$ 的距离.
（3）求二面角 $\text{[math]}$ 的平面角的正切值.

已知向量 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别是直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的方向向量，则直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角为( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

已知三棱锥 $\text{[math]}$ 及其平面展开图如图所示，四边形 $\text{[math]}$ 为边长等于 $\text{[math]}$ 的正方形， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为正三角形，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中：

（1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）若点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上运动，当直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角最大时，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为（）.

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，在正方体 $\text{[math]}$ 中，点E，F分别是棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的动点.给出下面四个命题：

①点B，D到平面ACE的距离相等；

②点E，F到直线AC的距离相等；

③直线AF与直线CE所成角的最大值是 $\text{[math]}$ ；

④平面CDF与平面ACE所成角的最大值是 $\text{[math]}$ .

其中，真命题的序号为.

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，侧面 $\text{[math]}$ 为等边三角形，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，则各选项正确的是（）

A . 直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ B . 直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ C . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ D . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$

如图，在棱长为1的正方体 $\text{[math]}$ 中，M，N分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中点，那么直线AM与CN夹角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，在直棱柱 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分别 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角的大小；
（2）求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离；
（3）在棱 $\text{[math]}$ 上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角的大小是 $\text{[math]}$ ? 若存在，请指出点 $\text{[math]}$ 的位置，若不存在，请说明理由.