用空间向量求直线间的夹角、距离知识点题库

如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60°，E是PB的中点，则异面直线DE与PA所成角的余弦值是（　　）

A . 0 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

已知空间三点A（1，1，1）、B（﹣1，0，4）、C（2，﹣2，3），则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角θ的大小是

在长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为．

如图，在△ABC中，∠ABC= $\text{[math]}$ ，∠BAC $\text{[math]}$ ，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC $\text{[math]}$ ．

（1）证明：平面ADB⊥平面BDC；
（2）设E为BC的中点，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值．

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 $\text{[math]}$ 的直角边 $\text{[math]}$ 所在直线与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都垂直，斜边 $\text{[math]}$ 以直线 $\text{[math]}$ 为旋转轴旋转，有下列结论：（1）当直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 成 $\text{[math]}$ 角时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 成 $\text{[math]}$ 角；（2）当直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 成 $\text{[math]}$ 角时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 成 $\text{[math]}$ 角；（3）直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的最小值为 $\text{[math]}$ ；（4）直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的最小值为 $\text{[math]}$ ；其中正确的是（填写所有正确结论的编号）.

直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

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（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值；
（3）已知点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上，且直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长．

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为8，点H在棱AA₁上，且HA₁＝2，在侧面BCC₁B₁内作边长为2的正方形EFGC₁ ， P是侧面BCC₁B₁内一动点，且点P到平面CDD₁C₁距离等于线段PF的长，则当点P在侧面BCC₁B₁运动时， $\text{[math]}$ 的最小值是（）

图片_x0020_100001

A . 87 B . 88 C . 89 D . 90

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，已知底面 $\text{[math]}$ 为等腰梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

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（1）求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值；
（2）设l是过点P且与 $\text{[math]}$ 平行的一条直线，点Q在直线l上，当 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值最大时，求线段 $\text{[math]}$ 的长.

在空间直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的法向量的夹角的正弦值为.

如图，P是圆锥的顶点，AB是底面圆O的一条直径，OC是一条半径.且 $\text{[math]}$ ，已知该圆锥的侧面展开图是一个面积为 $\text{[math]}$ 的半圆面.

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（1）求该圆锥的体积；
（2）求异面直线PB与AC所成角的余弦值.

如图，在正三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值是（）

A . 0 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

正三棱柱 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角的大小为（）

A . 60° B . 90° C . 45° D . 120°

已知 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所在的平面互相垂直， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起到 $\text{[math]}$ 的位置，使得平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，如图2.

（1）求证： $\text{[math]}$ .
（2）求直线 $\text{[math]}$ 和平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.
（3）线段 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ ？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，说明理由.

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 底面ABCD， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E为PA的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . 异面直线BE与CD所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ C . 点B到平面PCD的距离为 $\text{[math]}$ D . BC与平面PCD所成的角为 $\text{[math]}$

如图，直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .

（1）求平面BDC与平面 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值；
（2）求点 $\text{[math]}$ 到平面BDC距离.

如图，三棱柱 $\text{[math]}$ 中，侧面 $\text{[math]}$ 为矩形，若平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）记平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ ，异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角 $\text{[math]}$ ，试探求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小关系，并给出证明.

在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，设平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的交线为 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为．

在棱长为2的正方体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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