用空间向量求直线间的夹角、距离知识点题库

正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面边长为 $\text{[math]}$ ，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，CD的中点， $\text{[math]}$ ．则三棱锥B₁-EFD₁的体积V= （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 16

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．

（1）证明：PC⊥AD；
（2）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；
（3）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．

设动点P在棱长为1的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的对角线BD₁上，记 $\text{[math]}$ ．当∠APC为钝角时，则λ的取值范围是．

如图,在斜三棱柱 $\text{[math]}$ 中,底面 $\text{[math]}$ 为正三角形,面 $\text{[math]}$ ⊥面 $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

（1）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值;
（2）设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点,求面 $\text{[math]}$ 与面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.

在直角梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则异面直线 $\text{[math]}$ 所成的角为（）

A . 30° B . 45° C . 60° D . 90°

如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，D是棱AC的中点，且 $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角．

如图，四边形 $\text{[math]}$ 是矩形， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 距离.

已知直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角；
（2）求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离．

如图， $\text{[math]}$ 平面ABCD，ABCD为正方形，且 $\text{[math]}$ ，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（）

图片_x0020_100005

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如下图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，且四边形 $\text{[math]}$ 为直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

图片_x0020_100012

（1）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值；
（2）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值，利用此定义求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的距离．

已知正三棱锥 $\text{[math]}$ 的侧面 $\text{[math]}$ 上动点Q的轨迹是以P为焦点， $\text{[math]}$ 为准线的抛物线，若点Q到底面 $\text{[math]}$ 的距离为d，且 $\text{[math]}$ ，点H为棱 $\text{[math]}$ 的中点，则直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点．

图片_x0020_846305590

（1）求异面直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所成角的余弦值；
（2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值；
（3）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的距离．

已知在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的中点，则异面直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 所成的角为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的一点且 $\text{[math]}$ ，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角为

A . 30° B . 120° C . 60° D . 90°

（多选题）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论正确的是（）

A . 当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角； B . 当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角； C . 直线AB与a所成角的最小值为45°； D . 直线AB与a所成角的最大值为60°.

如图所示，在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的大小是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

将正方形 $\text{[math]}$ 沿对角线 $\text{[math]}$ 折成直二面角 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 是等边三角形 C . $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为90° D . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角为30°

如图，直三棱柱 $\text{[math]}$ 的底边长和侧棱长都为2，点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上运动（不包括端点）.

（1）若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，证明： $\text{[math]}$ ；
（2）设面 $\text{[math]}$ 与面 $\text{[math]}$ 所成的二面角大小为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为锐角），求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

在正方体 $\text{[math]}$ 中，E是侧面 $\text{[math]}$ 内的动点，且 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 与直线AB所成角的正弦值的最小值是 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

已知四边形ABCD为正方形，GD⊥平面ABCD，四边形DGEA与四边形DGFC也都为正方形，连接EF，FB，BE，H为BF的中点，则下列结论正确的是（）

A . DE⊥BF B . EF与CH所成角为 $\text{[math]}$ C . EC⊥平面DBF D . BF与平面ACFE所成角为 $\text{[math]}$

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