用空间向量求直线间的夹角、距离知识点题库

ABCD是正方形，以BD为棱把它折成直二面角A﹣BD﹣C，E为CD的中点，∠AED的大小为（　　）

A . 45° B . 30° C . 60° D . 90°

如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠ACB=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，若PA=AB=2，∠BPC=θ，则当△AEF的面积最大时，tanθ的值为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为4，点 $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 上一点，若异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

有公共边的等边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，求异面直线AB和CD所成角的余弦值。

如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 中，所有棱长均为2，O是底面正方形 $\text{[math]}$ 中心，E为 $\text{[math]}$ 中点，则直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为.

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下图中的几何体是由两个有共同底面的圆锥组成．已知两个圆锥的顶点分别为P、Q，高分别为2、1，底面半径为1．A为底面圆周上的定点，B为底面圆周上的动点（不与A重合）．下列四个结论：

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①三棱锥 $\text{[math]}$ 体积的最大值为 $\text{[math]}$ ；

②直线PB与平面PAQ所成角的最大值为 $\text{[math]}$ ；

③当直线BQ与AP所成角最小时，其正弦值为 $\text{[math]}$ ；

④直线BQ与AP所成角的最大值为 $\text{[math]}$ ；

其中正确的结论有.（写出所有正确结论的编号）

如图圆锥的高 $\text{[math]}$ ，底面直径 $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为（）

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A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

已知四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面为直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点.

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（1）证明：面 $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$ ；
（2）求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值；
（3）求面 $\text{[math]}$ 与面 $\text{[math]}$ 所成二面角余弦值的大小.

如图，长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中点，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角是（）

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A . 30° B . 45° C . 60° D . 90°

已知直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，则直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为.

如图，几何体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为边长为2的正方形， $\text{[math]}$ 为直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

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（1）求异面直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 所成角的大小；
（2）求几何体 $\text{[math]}$ 的体积；
（3）若平面 $\text{[math]}$ 内有一经过点B的曲线 $\text{[math]}$ ，该曲线上的任一动点Q都满足 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的大小恰等于 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角.试判断曲线 $\text{[math]}$ 的形状并说明理由.

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，且四边形 $\text{[math]}$ 为直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .且Q为线段 $\text{[math]}$ 的中点

（1）求直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 平面所成角的大小；
（2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的大小

如图所示，在正方体 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点，则直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 所成角正弦值的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

在空间直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则平面 $\text{[math]}$ 的一个法向量 $\text{[math]}$ ，异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为.

在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的大小为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图一副直角三角板，现将两三角板拼成直二面角，得到四面体 $\text{[math]}$ ，则下列叙述正确的是.

①平面 $\text{[math]}$ 的法向量与平面 $\text{[math]}$ 的法向量垂直；

②异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角的余弦值为 $\text{[math]}$ ；

③四面体 $\text{[math]}$ 有外接球且该球的半径等于棱 $\text{[math]}$ 长；

④直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ .

在正方体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上运动，则下列说法正确的有（）

A . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为定值

C . 异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的取值范围是 $\text{[math]}$ D . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值的最大值为 $\text{[math]}$

如图①，在直角梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，将四边形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起，如图②，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）当翻折至 $\text{[math]}$ 时，设 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的动点，求线段 $\text{[math]}$ 长的最小值.

如图，已知三棱柱 $\text{[math]}$ 中，侧棱与底面垂直，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值；
（3）点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，若直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ 时，求线段 $\text{[math]}$ 的长.

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