用空间向量求直线间的夹角、距离知识点题库

将正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面CBD，E是CD中点，则∠AED的大小为（　　）

A . 45° B . 30° C . 60° D . 90°

正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，O是AC，BD的交点，则C₁O与A₁D所成的角是（　　）

A . 60° B . 90° C . arccos $\text{[math]}$ D . arccos $\text{[math]}$

在四棱锥P-ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则这个四棱锥的高h=（）

A . 1 B . 2 C . 13 D . 26

在正方体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的大小为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，已知四面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 两两互相垂直，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中心.

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（1）过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 绕直线 $\text{[math]}$ 旋转一周所形成的几何体的体积；
（2）将 $\text{[math]}$ 绕直线 $\text{[math]}$ 旋转一周，则在旋转过程中，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 所成角记为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥称为正四棱锥．如图，在正四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面边长为1．侧棱长为2，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角的余弦值为（）

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A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图, 在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，E为 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．

在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是底面 $\text{[math]}$ 的中心， $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ，记直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ ，二面角 $\text{[math]}$ 的平面角为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图所示，平行六面体 $\text{[math]}$ 中，以顶点 $\text{[math]}$ 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为 $\text{[math]}$ .求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值是（）

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A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

已知长方体 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点．

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（1）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值；
（2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．

如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）求证：MN∥平面AEC₁；
（2）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的大小.

三棱锥P-ABC中，PA ， PB ， PC两两垂直， $\text{[math]}$ ，点Q为平面ABC内的动点，且满足 $\text{[math]}$ ，记直线PQ与直线AB的所成角为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为.

直三棱柱 $\text{[math]}$ 底面是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，顶点 $\text{[math]}$ 在底面 $\text{[math]}$ 上的射影恰为 $\text{[math]}$ 点，且 $\text{[math]}$ ．

（1）分别求出 $\text{[math]}$ 与底面 $\text{[math]}$ 、棱 $\text{[math]}$ 所成的角的大小；
（2）在棱 $\text{[math]}$ 上确定一点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，并求出二面角 $\text{[math]}$ 的平面角的余弦值．

如图所示，长方体 $\text{[math]}$ 的底面 $\text{[math]}$ 是边长为1的正方形，长方体的高为2， $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ D . 二面角 $\text{[math]}$ 的正切值为 $\text{[math]}$

如图：在多面体 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是正方形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ．

（1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．
（2）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值．

如图，已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为1，则下列结论中正确的是（）

①若 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上的动点，则 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ②若 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上的动点，则三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为定值 $\text{[math]}$ ③平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的锐二面角的大小为 $\text{[math]}$ ④若 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上的动点，则 $\text{[math]}$

A . ①②③ B . ②③④ C . ①②④ D . ①③④

如图1，在△MBC中，BM⊥BC，A，D分别为边MB，MC的中点，且BC＝AM＝2，将△MAD沿AD折起到△PAD的位置，使PA⊥AB，如图2，连结PB，PC．

（1）若E为PC的中点，求异面直线DE与PB所成的角大小；
（2）线段PC上一动点G满足 $\text{[math]}$ ，判断是否存在 $\text{[math]}$ ，使得二面角G－AD－P的正弦值为 $\text{[math]}$ ，若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由.

已知在正方体 $\text{[math]}$ 中，E，F，G分别是棱 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）证明： $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 不平行；
（2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.

在正方体 $\text{[math]}$ 中，M是 $\text{[math]}$ 的中点，点N在该正方体的棱上运动，则下列说法正确的是（）

A . 当N为棱 $\text{[math]}$ 中点时， $\text{[math]}$ B . 当N为棱 $\text{[math]}$ 中点时，MN与平面 $\text{[math]}$ 所成角为30° C . 有且仅有三个点N，使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ D . 有且仅有四个点N，使得MN与 $\text{[math]}$ 所成角为60°

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