用空间向量求直线间的夹角、距离知识点题库

将正方形 $\text{[math]}$ 沿对角线 $\text{[math]}$ 折成一个直二面角，点 $\text{[math]}$ 到达点 $\text{[math]}$ ，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角是( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

在四棱锥

中，底面

是边长为 $\text{[math]}$ 的菱形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）证明：平面；
（2）若，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面 $\text{[math]}$ 是菱形， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ .

（1）求直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值；
（2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值．

正方体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上运动（包括端点），则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

在正三棱柱 $\text{[math]}$ . 中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中点．以 $\text{[math]}$ 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 $\text{[math]}$ ．

（1）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．

（1）如图，在大小为 $\text{[math]}$ 的二面角 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都是边长为1的正方形，求 $\text{[math]}$ 两点间的距离。
（2）在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角的余弦值。

长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

图片_x0020_100008

（1）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角；
（2）求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离；
（3）求二面角 $\text{[math]}$ 的大小

在正方体 $\text{[math]}$ 中，棱长为1.

图片_x0020_100012

（1）求直线BC与直线 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值；
（2）求点A到平面 $\text{[math]}$ 的距离.

如图，六面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）若二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 到面 $\text{[math]}$ 的距离.

如图，长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值是（）

A . 0 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面是边长为 $\text{[math]}$ 的菱形，对角线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为45°， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值；

如图，已知正三棱柱 $\text{[math]}$ 的各条棱长均为2， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值等于．

在长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，在四棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形， $\text{[math]}$ ，E，F，G分别为棱 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值；
（2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 底面ABCD， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E为棱PC的中点.

（1）证明： $\text{[math]}$
（2）若F为棱PC上一点， $\text{[math]}$ 且满足 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

化学中，将构成粒子（原子､离子或分子）在空间按一定规律呈周期性重复排列构成的固体物质称为晶体.在结构化学中，可将晶体结构截分为一个个包含等同内容的基本单位，这个基本单位叫做晶胞.已知钙､钛､氧可以形成如图所示的立方体晶胞（其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在顶点位置，O原子位于棱的中点）.则图中原子连线BF与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

正四棱柱 $\text{[math]}$ 的底面边长为2，侧棱长为4.E为棱 $\text{[math]}$ 上的动点，F为棱 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）证明： $\text{[math]}$ ；
（2）若E为棱 $\text{[math]}$ 上的中点，求直线BE到平面 $\text{[math]}$ 的距离.

如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 为菱形， $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ﹐Q在线段AC上移动，P为棱 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）若H为BQ中点，延长AH交BC于D，求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ﹔
（2）若二面角 $\text{[math]}$ 的平面角的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求点P到平面 $\text{[math]}$ 的距离．

如图，在棱长为 $\text{[math]}$ 的正方体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点（含端点），下列四个结论中，正确的有（）

A . 存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . 存在点 $\text{[math]}$ ，使得直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 所成的角为45° C . 存在点 $\text{[math]}$ ，使得三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ D . 不存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为二面角 $\text{[math]}$ 的大小， $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 所成的角

如图，在四棱柱 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为菱形， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离；
（2） ①求二面角 $\text{[math]}$ 大小．
②求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的大小．

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