用空间向量求直线间的夹角、距离知识点题库

在棱长为1的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E为棱BC的中点，F为棱DD₁的中点．则异面直线EF与BD₁所成角的余弦值是（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，在四棱锥P﹣ABCD的底面梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=1，AD=3，∠ADC=45°．又已知PA⊥平面ABCD，PA=1．

求：

（1）异面直线PD与AC所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）

（2）四棱锥P﹣ABCD的体积．

如图，矩形ABCD所在平面与三角形ECD所在平面相交于CD，AE⊥平面ECD

（1）求证：AB⊥平面ADE；

（2）若点M在线段AE上，AM=2ME，且CD=DE=AE，求平面BCE与平面BDM所成的锐二面角的余弦值．

如图，已知长方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点．将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起，使得平面 $\text{[math]}$ ⊥平面 $\text{[math]}$ ．

（I）求证： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；

（II）若点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的一动点，当二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ 时，求线段 $\text{[math]}$ 的长．

如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，底面为边长为 $\text{[math]}$ 的正三角形， $\text{[math]}$ 在底面的射影为 $\text{[math]}$ 中点且 $\text{[math]}$ 到底面的距离为 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ 分别是线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 上的动点，记线段 $\text{[math]}$ 中点 $\text{[math]}$ 的轨迹为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于（）(注： $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ 的测度，本题中 $\text{[math]}$ 若分别为曲线、平面图形、空间几何体，分别对应为其长度、面积、体积）

A .

B .

C .

D .

如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值；
（2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的二面角（是指不超过 $\text{[math]}$ 的角）的余弦值.

如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC₁、AD的中点．那么异面直线OE和FD₁所成的角的余弦值等于 ( )．

图片_x0020_1633095053

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

已知三棱柱 $\text{[math]}$ 的所有棱长均为 $\text{[math]}$ ，侧棱 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 分别是线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值是.

图片_x0020_100012

在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，侧棱垂直于底面， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E为 $\text{[math]}$ 的中点，点F在 $\text{[math]}$ 的延长线上且 $\text{[math]}$ ，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角为（）

图片_x0020_100001

A . 90° B . 60° C . 45° D . 30°

如图，在直三棱柱中 $\text{[math]}$ -A BC中，AB $\text{[math]}$ AC， AB=AC=2， $\text{[math]}$ =4，点D是BC的中点．

（1）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值；
（2）求平面 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成二面角的正弦值．

在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为.

在长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在长方体内部存在动点P ，满足PD与平面ABCD ，平面 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 所成角相等，则PD所在直线与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，在棱长为2的平行六面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点，对角线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 直线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值等于 $\text{[math]}$ D . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积是平行四六面体 $\text{[math]}$ 的体积的 $\text{[math]}$

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）设点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，求异面直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的大小.

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设点M为 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）若四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为2，求异面直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所成角的余弦值；
（2）若二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

在如图所示的多面体中， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面ABCD， $\text{[math]}$ .

（1）求点F到直线EC的距离；
（2）求平面BED与平面EDC夹角的余弦值.

如图，四棱锥P - ABCD的底面是边长为2的正方形，侧面PCD⊥底面ABCD，且PC= PD=2，M，N分别为棱PC，AD的中点．

（1）求证∶ BC⊥PD；
（2）求异面直线BM与PN所成角的余弦值；
（3）求点N到平面MBD的距离．

如图，在长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P，E分别为AB， $\text{[math]}$ 的中点，点M为直线 $\text{[math]}$ 上的动点，点N为直线 $\text{[math]}$ 上的动点，则（）

A . 对任意的点N，一定存在点M，使得 $\text{[math]}$ B . 向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 共面 C . 异面直线PM和 $\text{[math]}$ 所成角的最小值为 $\text{[math]}$ D . 存在点M，使得直线PM与平面 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$

在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，已知底面 $\text{[math]}$ 是菱形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 为菱形 $\text{[math]}$ 的内切圆上一点，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值的取值范围是.

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