用空间向量求直线间的夹角、距离知识点题库

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB= $\text{[math]}$ ，AF=1，M是线段EF的中点．

（1）求证AM∥平面BDE；
（2）求二面角A﹣DF﹣B的大小；
（3）试在线段AC上一点P，使得PF与CD所成的角是60°．

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为直角梯形， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值；
（2）棱 $\text{[math]}$ 上是否存在一点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ?若存在，求 $\text{[math]}$ 的长；若不存在，说明理由.

如图，已知矩形 $\text{[math]}$ 与矩形 $\text{[math]}$ 全等，二面角 $\text{[math]}$ 为直二面角， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）.

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A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

在三棱锥P﹣ABC中，已知PA ， PB ， PC两两垂直，PB＝3，PC＝4，且三棱锥P﹣ABC的体积为10.

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（1）求点A到直线BC的距离；
（2）若D是棱BC的中点，求异面直线PB ， AD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.

如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .

（1）求棱 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角的大小；
（2）在棱 $\text{[math]}$ 上确定一点 $\text{[math]}$ ，使二面角 $\text{[math]}$ 的平面角的余弦值为 $\text{[math]}$ .

如图，直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点Q为 $\text{[math]}$ 的中点，若动点P在直线 $\text{[math]}$ 上运动时，异面直线AB与PQ所成角的最小值为（）

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A . 30° B . 45° C . $\text{[math]}$ D . 无法确定

如图所示，在正方体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值．

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已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为4， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为正方形 $\text{[math]}$ 所在平面内一动点，则下列命题正确的个数为（）．

①若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 的轨迹所围成图形的面积为 $\text{[math]}$ ；②若点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的距离相等，则点 $\text{[math]}$ 的轨迹为抛物线；③若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的轨迹为双曲线的一支；④若 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的轨迹为圆．

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A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

已知棱长为 $\text{[math]}$ 的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点.

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（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值.

在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的等边三角形，侧棱长为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 之间距离的最大值为 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ 在底面 $\text{[math]}$ 上的投影恰为 $\text{[math]}$ 的中心，则直线 $\text{[math]}$ 与底面所成角为 $\text{[math]}$ C . 若三棱柱的侧棱垂直于底面，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ D . 若三棱柱的侧棱垂直于底面，则其外接球表面积为 $\text{[math]}$

如图，直四棱柱 $\text{[math]}$ 的底面 $\text{[math]}$ 为直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点.

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（1）在图中作出平面 $\text{[math]}$ 与该棱柱的截面图形，并用阴影部分表示(不必写出作图过程)；
（2） $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点，求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值.

如图，在五面体 $\text{[math]}$ 中，面 $\text{[math]}$ 为矩形，且与面 $\text{[math]}$ 垂直， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）证明： $\text{[math]}$ ；
（2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的锐二面角的余弦值.

在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面BCD， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交棱 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .以 $\text{[math]}$ 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示.

（1）写出 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的坐标；
（2）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值.

在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中，若D是棱 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则直线CD与直线 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中，D为棱 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则异面直线CD与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图1是直角梯形 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为折痕将 $\text{[math]}$ 折起，使点C到达 $\text{[math]}$ 的位置，且平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 垂直，如图2．

（1）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值；
（2）在棱 $\text{[math]}$ 上是否存在点P，使平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ？若存在，则求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积，若不存在，则说明理由．

已知三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则异面直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所成角为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为1，则线段 $\text{[math]}$ 上的动点P到直线 $\text{[math]}$ 的距离的最小值为（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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