题目

如图，在三棱柱 中， 平面 ， ，且 . （1） 求棱 与 所成的角的大小； （2） 在棱 上确定一点 ，使二面角 的平面角的余弦值为 . 答案： 解：如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系， 则 C(2,0,0),B(0,2,0),A1(0,2,2),B1(0,4,2) ， AA1⇀=(0,2,2),BC⇀=B1C1⇀=(2,−2,0) . cosAA1⇀,BC⇀=AA1⇀⋅BC⇀|AA1⇀|⋅|BC⇀|=−48⋅8=−12 ， 故 AA1 与棱 BC 所成的角是 π3 解： P 为棱 B1C1 中点， 设 B1P⇀=λB1C1⇀=(2λ,−2λ,0) ，则 P(2λ,4−2λ,2) . 设平面 PAB 的法向量为 n1⇀=(x,y,z) ， AP⇀=(2λ,4−2λ,2) ， 则 {n1⇀⋅AP⇀=0n1⇀⋅AB⇀=0⇒{x+3y+2z=02y=0⇒{z=−λxy=0 ， 故 n1⇀=(1,0,−λ) 而平面 ABA1 的法向量是 n2⇀=(1,0,0) ，则 cosn1⇀,n2⇀=n1⇀⋅n2⇀|n1⇀|⋅|n2⇀|=11+λ2=255 ， 解得 λ=12 ，即 P 为棱 B1C1 中点，其坐标为 P(1,3,2)

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