题目

如图, 在三棱锥 中， 平面 ， ，且 ， ，E为 的中点． （1） 求异面直线 与 所成角的余弦值； （2） 求二面角 的余弦值． 答案： 解：因为 DA⊥ 平面 ABC ， ∠CAB=90° ，所以可以以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 A−xyz . 因为 AC=AD=1 ， AB=2 ， 所以 A(0,0,0) ， C(1,0,0) ， B(0,2,0) ， D(0,0,1) ， 因为点 E 为线段 BD 的中点， 所以 E(0,1,12) . AE⇀=(0,1,12) ， BC⇀=(1,−2,0) ， 所以 cos〈AE⇀,BC⇀〉=AE⇀·BC⇀|AE⇀||BC⇀|=−254×5=−45 ， 所以异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为 45 . 解：设平面 ACE 的法向量为 n1=(x,y,z) ， 因为 AC⇀=(1,0,0) ， AE⇀=(0,1,12) ， 所以 n1·AC⇀=0 ， n1·AE⇀=0 ，即 x=0 且 y+12z=0 ，取 y=1 ，得 x=0 ， z=−2 ， 所以 n1=(0,1,−2) 是平面 ACE 的一个法向量． 设平面 BCE 的法向量为 n2=(x,y,z) ， 因为 BC⇀=(1,−2,0) ， BE⇀=(0,−1,12) ， 所以 n2·BC⇀=0 ， n2·BE⇀=0 ， 即 x−2y=0 且 −y+12z=0 ，取 y=1 ，得 x=2 ， z=2 ， 所以 n2=(2,1,2) 是平面 BCE 的一个法向量． 所以 cos〈n1,n2〉=n1⋅n2|n1||n2|=−35×9=−55 ． 由图可知二面角为钝角，所以二面角 A−CE−B 的余弦值为 −55 .

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