题目

已知长方体 ， ， ， 为棱 的中点， 为线段 的中点． （1） 求异面直线 与 所成角的余弦值； （2） 求直线 与平面 所成角的正弦值． 答案： 解：以D为原点，以 DA→ ， DC→ ， DD1→ 分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系.则 E(1,1,0) ， F(0,1,32) ， A(1,0,0) ， D1(0,0,3) ， 则 EF→=(−1,0,32) ， AD1→=(−1,0,3) ，直线 EF 与 AD1 所成角为 θ ，则 cosθ=|EF→⋅AD1→||EF→|⋅|AD1¯|=|1+32|1+34⋅1+3=5714 ； 解： DE→=(1,1,0) ， DF→=(0,1,32) ， AD1→=(−1,0,3) ， 设面 DEF 的法向量为 n→=(x,y,z) ，则 {DE⇀⋅n⇀=0DF⇀⋅n⇀=0 ，即 {x+y=0y+32z=0 ， 令 z=2 ，可得 n→=(3,−3,2) ， 设直线 AD1 与平面 DEF 所成角为 θ ， 则 sinθ=|AD1→⋅n→||AD1→|⋅|n→|=|−3+23|1+3⋅3+3+22=3020 ， 所以直线 AD1 与平面 DEF 所成角的正弦值 3020 .

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