题目

如图，在正方体 中， ， ， 分别是 ， ， 的中点． （1） 求异面直线 与 所成角的余弦值； （2） 棱 上是否存在点 ，使得 ∥平面 ？请证明你的结论； （3） 求直线 与平面 所成角的余弦值； 答案： 解：由题意，以 D 为坐标原点， DA,DC,DD1 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系， 设正方体 ABCD−A1B1C1D1 的边长为 2 ，则 B1(2,2,2) ， E(2,1,0) ， B(2,2,0) ， G(1,0,0) ， F(0,2,1) ， 由题意， B1E→=(0,−1,−2) ， BG→=(−1,−2,0) ， 所以，异面直线 B1E 与 BG 所成角的余弦值 cos〈B1E→,BG→〉=B1E→⋅BG→|B1E→|⋅|BG→|=25×5=25 ， 故异面直线 B1E 与 BG 所成角的余弦值为 25 . 解：在 CD 上存在点 T ，使得 AT// 平面 B1EF ，此时有 DT=14DC .证明如下： 假设在棱 CD 上存在点 T ，使得 AT// 平面 B1EF ，设 T(0,λ,0) ，则 AT→=(−2,λ,0) ， 设平面 B1EF 的一个法向量为 n→=(x,y,z) ， 由 {n⇀⋅B1E⇀=0n⇀⋅B1F⇀=0 ，即 {−y−2z=0−2x−z=0 ，取 z=2 ，解得 x=−1 ， y=−4 ， ∴平面 B1EF 的一个法向量为 n→=(−1,−4,2) ， 由题意，得 n→⋅AT→=2−4λ=0 ，即 λ=12 ，即 DT=14DC ， 所以，在 CD 上存在点 T ，使得 AT// 平面 B1EF ，此时有 DT=14DC . 解：直线 BG 与平面 B1EF 所成角的正弦值： sinθ=|cosφ|=921×5=310535 ， 所以，直线 BG 与平面 B1EF 所成角的余弦值 cosθ=27035 .

查看本题答案和解析