四边形的综合知识点题库

阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：

当a＞0，b＞0时：

∵（ $\text{[math]}$ ）²=a﹣2 $\text{[math]}$ +b≥0

∴a+b≥2 $\text{[math]}$ ，当且仅当a=b时取等号．

请利用上述结论解决以下问题：

图片_x0020_100016

（1）请直接写出答案：当x＞0时，x+ $\text{[math]}$ 的最小值为．当x＜0时，x+ $\text{[math]}$ 的最大值为；
（2）若y= $\text{[math]}$ ，（x＞﹣1），求y的最小值；
（3）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O ， △AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值．

已知：如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是斜边 $\text{[math]}$ 上的中线．

图片_x0020_100025

求证： $\text{[math]}$ ．

证明：延长 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．

（问题解决）补全以上证明过程．

（1）证明：延长 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
（2）（规律探索）如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ；点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，连结 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．
（3）（结论应用）如图， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的高线，连结 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ 的长为．

如图

（1） [方法呈现]
如图①，△ABC中，AD为中线，已知AB=3，AC=5，求中线AD长的取值范围.

解决此问题可以用如下方法：

延长AD至点E，使DE=AD，连结CE，则易证△DEC≌△DAB，得到EC＝AB＝3，则可得 $\text{[math]}$ ，从而可得中线AD长的取值范围是 .
（2） [探究应用]
如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系，并写出完整的证明过程.
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论

如图，已知菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O ，且AC=12cm，BD=16cm，点P从点D出发，沿DA方向匀速向点A运动，速度为2cm/s；同时，点E从点B出发，沿BO方向匀速向点O运动，速度为1cm/s，EF∥BC ，交OC于点F ．当点P、E中有一点停止运动时，另一点也停止运动，线段EF也停止运动，连接PE、DF（0<t<5）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，PE∥AB？
（2）设四边形EFDP的面积为y（ $\text{[math]}$ ），求y与t之间的函数关系式．
（3）是否存在某一时刻t ，使得 $\text{[math]}$ ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）连接FP ，是否存在某一时刻t ，使得FP⊥AD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

已知：如图所示，在四边形ABCD中，对角线的交点为O ， E是OC上的一点，过点A作AG⊥BE于点G ， AG ， BD交于点F ．

（1）如图①所示，若四边形ABCD是正方形，求证：OE＝OF ．
（2）如图②所示，若四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°．探究线段OE与OF的数量关系，并说明理由．

如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为F．

在下列结论中①△AFD≌△DCE；②AF＝ $\text{[math]}$ AD；③AB＝AF；④BE＝AD﹣DF．一定正确的是（把正确的序号写在横线上）．

已知：四边形 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折得到 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的对应点 $\text{[math]}$ 恰好落在直线 $\text{[math]}$ 上，直线 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

（1）如图①，当四边形 $\text{[math]}$ 为矩形时，
①求证： $\text{[math]}$ ；

②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长；
（2）如图②，当四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形时，若 $\text{[math]}$ ，直接写出此时 $\text{[math]}$ 的值．

如图，正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 于点E，在 $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点G，H，点P是线段 $\text{[math]}$ 上的动点， $\text{[math]}$ 于点Q，连接 $\text{[math]}$ .下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ 的最小值是 $\text{[math]}$ .其中所有正确结论的序号是.

如图1，直角梯形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点B在底边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点B做底边 $\text{[math]}$ 的垂线交 $\text{[math]}$ 的延长线于点G ．

（1）求线段 $\text{[math]}$ 的长度；
（2）联结 $\text{[math]}$ ，点P从点A出发，沿 $\text{[math]}$ 方向匀速运动，速度为 $\text{[math]}$ ，当点P到达点C后即停止运动，设运动时间为t ．
①如图2，当点P在 $\text{[math]}$ 的角平分线上，求t的值；

②如果在线段 $\text{[math]}$ 上存在点Q ，使得四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形，请直接写出平行四边形 $\text{[math]}$ 的面积．

如图，已知正方形 $\text{[math]}$ 的边长为4，P是对角线 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 于点E ， $\text{[math]}$ 于点F ，连接 $\text{[math]}$ ，给出下列结论：① $\text{[math]}$ ；②四边形 $\text{[math]}$ 的周长为8；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ，其中正确结论有几个（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

箭头四角形

模型规律

如图1，延长CO交AB于点D，则∠BOC＝∠1+∠B＝∠A+∠C+∠B.

因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“∠BOC＝∠A+∠B+∠C”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”.

模型应用

（1）直接应用：①如图2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝.
②如图3，∠ABE、∠ACE的2等分线（即角平分线）BF、CF交于点F，已知∠BEC＝120°，∠BAC＝50°，则∠BFC＝.

③如图4，BO_i、CO_i分别为∠ABO、∠ACO的2019等分线（i＝1，2，3，…，2017，2018）.它们的交点从上到下依次为O₁、O₂、O₃、…、O₂₀₁₈.已知∠BOC＝m°，∠BAC＝n°，则∠BO₁₀₀₀C＝度.
（2）拓展应用：如图5，在四边形ABCD中，BC＝CD=4，∠BCD＝2∠BAD.O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD，∠BCD=120°，求四边形OBCD的面积.

已知正方形ABCD，AB＝4，点P在边AD上运动，点M是线段CP上一动点.

（1）如图1，当点P在A点时，若PM＝3CM，过点M作CM的垂线交BC于点Q，则 $\text{[math]}$ ＝；
（2）如图2，当点P在边AD上，若点M是CP的中点，过点M作CM的垂线交AB于点N，记DP＝x，BN＝y，试求y关于x的函数表达式；
（3）如图3，当点P在边AD上，若点M是CP的中点，过点M作CM的垂线交正方形对角线BD于点R，试判断MR和CP的数量关系，并说明理由.

已知： $\text{[math]}$ ，点E是 $\text{[math]}$ 上的一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，分别与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点F，G，H． $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．将四边形 $\text{[math]}$ 放在平行线中，使其四个顶点分别落在直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上．

（1）如图1，若四边形 $\text{[math]}$ 是正方形，且点D与G重合，则正方形 $\text{[math]}$ 的面积为；
（2）如图2，若四边形 $\text{[math]}$ 是菱形，且点A与点E重合， $\text{[math]}$ 的延长线过点H，求菱形 $\text{[math]}$ 的面积．

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P在AB边上， $\text{[math]}$ ，将线段AP绕点P顺时针旋转至PD，记旋转角为 $\text{[math]}$ ，连接BD，以BD为底边，在线段BD的上方找一点E，使 $\text{[math]}$ ， ED=EB，连接AD、CE．

（1）如图1，当旋转角 $\text{[math]}$ 时，请直接写出线段CE与线段AD的数量关系；
（2）当 $\text{[math]}$ 时，
①如图2，（1）中线段CE与线段AD的数量关系是否还成立？并说明理由．
②如图3，当点A、D、E三点共线时，连接CD，判断四边形CDBE的形状，并说明理由．

如图，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中，E是 $\text{[math]}$ 的中点，则下列四个结论：① $\text{[math]}$ ；②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；③若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；④若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 全等．其中正确结论的个数为（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点， $\text{[math]}$ 分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DC的中点，连接AP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，则在剪开之前，关于该图形，下列说法：①图中的三角形都是等腰直角三角形；②四边形MPEB是菱形；③四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的 $\text{[math]}$ .正确的有（）

A . 只有① B . ①② C . ①③ D . ②③

综合与实践

综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.

（1）操作判断
操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；

操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM.

根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：.
（2）迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：

将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ.

①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝▲ °，∠CBQ＝▲ °；

②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由.
（3）拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长.

下列命题正确的是（）

A . 两条对角线相等的四边形是矩形 B . 两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C . 两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D . 顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形

（1）【探究发现】如图①所示，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上一点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折到 $\text{[math]}$ 处，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 边于 $\text{[math]}$ 点．求证： $\text{[math]}$
（2）【类比迁移】如图②，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上一点，且 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折到 $\text{[math]}$ 处，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 边于点 $\text{[math]}$ 延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 边于点 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 的长．
（3）【拓展应用】如图③，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上的三等分点， $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折得到 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 的长．

如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）概念理解：在下列四边形中，①正方形；②矩形；③菱形；④平行四边形．是垂美四边形的是：（填写序号）；
（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，试猜想：两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，且CE与BG相交于点H，已知BC=3，AB=5，求GE长．

四边形的综合 知识点题库

四边形的综合知识点题库