四边形的综合知识点题库

已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G.

（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求CF的长；
（3）如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由.

如图，四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于E， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于F．

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（1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
（3）若 $\text{[math]}$ ，过A点作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于M，求 $\text{[math]}$ 的值．

如图1，已知正方形ABCD，E是边BC上的一个动点(不与点B、C重合)，连结AE，点B关于直线AE的对称点为F，连结EF并延长交CD于点G，连结AG，AF。

（1）求∠EAG的度数。
（2）如图2，连结CF，若CF∥AG，请探究线段BE与DG之间的数量关系，并说明理由。
（3）如图3，过点G作GH⊥AE于点H，连结BH，请探究线段BH与CG的数量关系，并说明理由。

如图1，已知 $\text{[math]}$ ，四根长度相等的木棒， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 首尾相接组成四边形 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的垂直平分线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

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（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）如图2，若 $\text{[math]}$ ，求证：四边形 $\text{[math]}$ 是正方形；
（3）将木棒 $\text{[math]}$ 固定在射线 $\text{[math]}$ 上，当木棒 $\text{[math]}$ 绕着点 $\text{[math]}$ 由 $\text{[math]}$ 开始顺时针旋转时，四边形 $\text{[math]}$ 也随之发生变化，设 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 是直角三角形，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点且∠AOG=30°．某班学习委员得到四个结论：①DC=3OG；②OG= $\text{[math]}$ BC；③ $\text{[math]}$ OGE是等边三角形；④S_△AOE= $\text{[math]}$ S_矩形ABCD ，问：学习委员得到结论正确的是．（填写所有正确结论的序号）

正方形 $\text{[math]}$ 的边长为8，点E、F分别在边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，将正方形沿 $\text{[math]}$ 折叠，使点A落在 $\text{[math]}$ 处，点B落在点 $\text{[math]}$ 处， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于G．以下结论：

①当 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点时， $\text{[math]}$ 三边之比为 $\text{[math]}$ ；

②当 $\text{[math]}$ 三边之比为 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点；

③当 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上移动时， $\text{[math]}$ 周长不变；

④当 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上移动时，始终有 $\text{[math]}$ ．

其中正确的有（写出所有正确结论的序号）

综合与实践背景阅读：

“旋转”即物体绕一个点或一个轴做圆周运动．在中国古典专著《百喻经·口诵乘船法而不解用喻》中记载：“船盘回旋转，不能前进．”而图形旋转即：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．综合实践课上，“睿智”小组专门探究了正方形的旋转，情况如下：在正方形 $\text{[math]}$ 中，点O是线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点，将正方形 $\text{[math]}$ 绕点O顺时针旋转得到正方形 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是点A，B，C，D的对应点）．设旋转角为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）．

（1）操作猜想：
如图1，若点O是 $\text{[math]}$ 中点，在正方形 $\text{[math]}$ 绕点旋转过程中，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是；线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是．
（2）探究验证：
如图2，在（1）的条件下，在正方形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转过程中，顺次连接点B， $\text{[math]}$ ，C， $\text{[math]}$ ，B．判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由．
（3）拓展延伸：
如图3，若 $\text{[math]}$ ，在正方形 $\text{[math]}$ 绕点O顺时针旋转的过程中，设直线 $\text{[math]}$ 交线段 $\text{[math]}$ 于点P．连接 $\text{[math]}$ ，并过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点Q．请你补全图形，并直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

图，正方形 $\text{[math]}$ 中， E为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 于M，交 $\text{[math]}$ 于点N，交 $\text{[math]}$ 于点F，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．有如下结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ；⑤ $\text{[math]}$ ．其中正确的结论的个数为（）

A . 2个 B . 3个 C . 4个 D . 5个

综合与实践

问题情境：

如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C）.延长AE交CE′于点F，连接DE.

猜想证明：

（1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；
（2）如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明；
（3）如图①，若AB＝15，CF＝3，请直接写出DE的长.

已知，四边形 $\text{[math]}$ 是菱形，延长 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 点，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 点，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 点．
①已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

②点 $\text{[math]}$ 是对角线 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 是锐角三角形，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以 $\text{[math]}$ 的速度向点 $\text{[math]}$ 运动，同时动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以 $\text{[math]}$ 的速度向点 $\text{[math]}$ 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为 $\text{[math]}$ 秒．

（1）当四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形时，求t的值；
（2）当 $\text{[math]}$ 时，四边形 $\text{[math]}$ 是矩形；若 $\text{[math]}$ 且点 $\text{[math]}$ 的移动速度不变，要使四边形 $\text{[math]}$ 能够成为正方形，则 $\text{[math]}$ 点移动速度是 $\text{[math]}$ ；
（3）在点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 运动过程中，若四边形 $\text{[math]}$ 能够成为菱形，求 $\text{[math]}$ 的长度．

如图， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的对角线， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 为射线 $\text{[math]}$ 上一点.

（1）如图1， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 延长线上，连接 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ；
①当 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点时，求证： $\text{[math]}$ ；

②当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 长度；
（2）如图2， $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交点于 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，试探究 $\text{[math]}$ 三条线段之间的数量关系，并说明理由.

如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S_△BEF= $\text{[math]}$ ．在以上4个结论中，其中一定成立的（把所有正确结论的序号都填在横线上）

如图

（1）【探究发现】
如图①，已知四边形ABCD是正方形，点E为CD边上一点（不与端点重合），连接BE，作点D关于BE的对称点D'，DD'的延长线与BC的延长线交于点F，连接BD′，D'E．
①小明探究发现：当点E在CD上移动时，△BCE≌△DCF．并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整．
证明：延长BE交DF于点G．
②进一步探究发现，当点D′与点F重合时，∠CDF＝ ▲ °．
（2）【类比迁移】
如图②，四边形ABCD为矩形，点E为CD边上一点，连接BE，作点D关于BE的对称点D'，DD′的延长线与BC的延长线交于点F，连接BD'，CD'，D'E．当CD'⊥DF，AB＝2，BC＝3时，求CD'的长；
（3）【拓展应用】
如图③，已知四边形ABCD为菱形，AD＝ $\text{[math]}$ ， AC＝2，点F为线段BD上一动点，将线段AD绕点A按顺时针方向旋转，当点D旋转后的对应点E落在菱形的边上（顶点除外）时，如果DF＝EF，请直接写出此时OF的长．

如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中，E，F分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 交BF于点H， $\text{[math]}$ 交BF于点G，下列结论，① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ 其中正确的是（）

A . ①③④ B . ①② C . ②③ D . ①②④

已知：正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在的直线上，且随着点P的运动而运动，PE=PD总成立．

（1）如图1，当点P在对角线AC上时，请你猜想PE与PB有怎样的数量关系，并加以证明；
（2）如图2，当点P运动到CA的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（3）如图2，当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图3画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）

如图1， $\text{[math]}$ 中，对角线AC，BD相交于点E，点F在AB延长线上， $\text{[math]}$ ，点G是CF上一点，连接BG， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求证 $\text{[math]}$ ；
（2）求 $\text{[math]}$ 的值；
（3）如图2，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求BF的长．

如图，在平面直角坐标系中，四边形 $\text{[math]}$ 是边长为6正方形，A点在x轴负半轴上，C点在y轴负半轴上，有一动点P自O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿 $\text{[math]}$ 运动，设运动时间为t秒．

（1）直接写出点A的坐标为．
（2）求t为多少秒时， $\text{[math]}$ 为等腰三角形？并直接写出此时P点的坐标．
（3）设 $\text{[math]}$ 的面积为S，当 $\text{[math]}$ 时，求S与t之间的函数关系式？

如图，正方形ABCD中 $\text{[math]}$ 分别交BC，CD于点E，F，连接EF．

（1）如图①，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试求 $\text{[math]}$ 的度数；
（2）如图②，以点A为旋转中心，旋转 $\text{[math]}$ ，旋转时保持 $\text{[math]}$ ．当点E，F分别在边BC，CD上时，AE和AF是角平分线吗？如果是，请说出是哪两个角的平分线并给予证明；如果不是，请说明理由；
（3）如图③，在②的条件下，当点E，F分别在BC，CD的延长线上时，②中的结论是否成立？只需回答结论，不需说明理由．

如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段CD平行于x轴，交直线 $\text{[math]}$ 于点D，连接OC、AD．

（1）填空：k=，点A的坐标是；
（2）求证：四边形OADC是平行四边形；
（3）动点P从点O出发，沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线DO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒．
①当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的面积是；
②是否存在t的值使得四边形CPAQ为矩形，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

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