四边形的综合知识点题库

四边形ABCD是正方形，△BEF是等腰直角三角形，∠BEF＝90°，BE＝EF，连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG，EC.

（1）问题发现：如图1，若点E在CB的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及 $\text{[math]}$ 的值；
（2）操作探究：将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转至图2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）解决问题：将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转，若BE＝1，AB＝ $\text{[math]}$ ，当E，F，D三点共线时，请直接写出CE的长.

如图在正方形ABCD中，E ， F ， G ， H分别是AD ， DC ， BC ， CD上的点，连接EF ， GH ．

①若EF⊥GH ，则必有EF=GH ．

②若EF=GH ，则必有EF⊥GH ．

判断上述两个命题是否成立，若成立，请说明理由；若不成立，请举出反例．

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如图， $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E,交 $\text{[math]}$ 于点F，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．下列结论:① $\text{[math]}$ ;② $\text{[math]}$ ;③ $\text{[math]}$ :④ $\text{[math]}$ 其中正确的结论有(填写所有正确结论的序号)

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如图，在长方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ .下列结论中：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ .其中正确的个数有（）

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A . $\text{[math]}$ 个 B . $\text{[math]}$ 个 C . $\text{[math]}$ 个 D . $\text{[math]}$ 个

如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，点P是线段AD上一动点（不与点D重合），PO的延长线交BC于点Q.

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（1）求证：四边形PBQD为平行四边形；
（2）若AB＝3 cm，AD＝4 cm，P从点A出发．以1 cm/s的速度向点D匀速运动．设点P运动时间为t s，问：四边形PBQD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由．

如图所示，在矩形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上，连接 $\text{[math]}$ 交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ .

（1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长度.

如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中，线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别平行于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，它们相交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ .已知 $\text{[math]}$ .设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）四边形 $\text{[math]}$ 的面积四边形 $\text{[math]}$ 的面积（填“ $\text{[math]}$ ”、“ $\text{[math]}$ ”或“ $\text{[math]}$ ”）；
（2）求证： $\text{[math]}$ ；
（3）设四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形.

（1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是；
（2）如图1，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AD，AB，BC上，四边形DEFG是垂等四边形，且∠EFG＝90°，AF＝CG.
①求证：EG＝DG；

②若BC＝n•BG，求n的值；
（3）如图2，在Rt△ABC中， $\text{[math]}$ ＝2，AB＝ $\text{[math]}$ ，以AB为对角线，作垂等四边形ACBD.过点D作CB的延长线的垂线，垂足为E，且△ACB与△DBE相似，求四边形ACBD的面积.

实践与探究

（1）操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD ，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M ，折痕为AE ，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF ，则 $\text{[math]}$ 度．
（2）操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N ．我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同．当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则 $\text{[math]}$ 度．
（3）在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：
设AM与NF的交点为点P．求证 $\text{[math]}$ ：．
（4）若 $\text{[math]}$ ，则线段AP的长为．

（问题情境）

如图1，点E为正方形 $\text{[math]}$ 内一点， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点B顺时针方向旋转90°，得到 $\text{[math]}$ （点A的对应点为点C）．延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F ，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）（猜想证明）
试判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由；
（2）如图2，若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．
（3）（解决问题）
如图3，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长度．

如图，矩形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 为对角线 $\text{[math]}$ 所在直线上的一个动点，连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）如图 $\text{[math]}$ ，①当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上时， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系为： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；
② $\text{[math]}$ 的值是；
（2）如图 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 延长线上时，（1）中的结论②是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由；
（3）如图 $\text{[math]}$ ，以线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为邻边作矩形 $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ，矩形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ．请直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的函数关系式及 $\text{[math]}$ 的最小值．

如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE＝BK＝AG.

（1）求证：①DE＝DG；
②DE⊥DG；
（2）以线段DE，DG为边作出正方形DEFG，连接KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想；
（3）当 $\text{[math]}$ 时，请写出 $\text{[math]}$ 的值，并说明理由.

如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 相交于点O ，点E在BC边上，且 $\text{[math]}$ ，连接AE交BD于点G ，过点B作 $\text{[math]}$ 于点F ，连接OF并延长，交BC于点M ，过点O作 $\text{[math]}$ 交DC于占N ， $\text{[math]}$ ，现给出下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ；其中正确的结论有（）

A . ①②③ B . ②③④ C . ①②④ D . ①③④

（阅读理解）设 $\text{[math]}$ 在矩形 $\text{[math]}$ 内部，当点 $\text{[math]}$ 到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点 $\text{[math]}$ 为该边的“和谐点”.例如：如图1，矩形 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 的“和谐点”.

（解题运用）已知，点 $\text{[math]}$ 在矩形 $\text{[math]}$ 内部，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）设 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 的“和谐点”，则 $\text{[math]}$ 边 $\text{[math]}$ 的“和谐点”（填“是”或“不是”）；
（2）设 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 的“和谐点”，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 是直角三角形时，求 $\text{[math]}$ 的值；
（3）如图2，若 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 的“和谐点”，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值.

如图所示，在正方形ABCD的对角线上取点E，使得∠BAE=15°，连结AE，CE．延长CE到F，连结BF，使得BC=BF．若AB=1，则下列结论：①AE=CE；②F到BC的距离为 $\text{[math]}$ ；③BE+EC=EF；④S_△_AED= $\text{[math]}$ ；⑤S_△_EBF= $\text{[math]}$ ．其中正确的是．

如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC，DH，DF，若AB=3，BE=1，则DH=．

如图，将四边形纸片 $\text{[math]}$ 沿过点A的直线折叠，使得点B落在 $\text{[math]}$ 上的点M处．折痕为 $\text{[math]}$ ；再将 $\text{[math]}$ 分别沿 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 折叠，此时点C，D落在AP上的同一点N处．下面结论中正确的个数为（）

①M是 $\text{[math]}$ 的中点；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

已知在菱形ABCD中，E是BC边上一动点，连接AE交BD于点F.

（1）如图1，当E为BC边中点时，求证： $\text{[math]}$ ；
（2）如图2，连接CF，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 为直角三角形时，求EC的长；
（3）如图3，当 $\text{[math]}$ 时，过点C作 $\text{[math]}$ 交AE的延长线于点G，连接DG，若 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的值.

如图，已知Rt△OAB， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，斜边 $\text{[math]}$ cm，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，得到△ODC，连接BC．点M从点D出发，沿DB方向匀速行动，速度为1cm/s；同时，点N从点O出发，沿OC方向匀速运动，速度为2cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动，连接AM，MN，MN交CD于点P．设运动时间为t（s） $\text{[math]}$ ，解答下列问题：

（1）当t为何值时，OM平分 $\text{[math]}$ ？
（2）设四边形AMNO的面积为S（cm²），求S与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，当 $\text{[math]}$ 时，求四边形AMNO的面积；
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点P为线段CD的中点？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

如图1，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，∠D=90°+∠C，点E，F分别在边BC，AD上，∠BAE=∠AEF，EB=EF.

（1）猜想∠B与∠C的数量关系，并证明；
（2）求证：BC=AB+AF；
（3）如图2，若AF=1，AB=2，AF>CD，求CD的长.

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