四边形的综合知识点题库

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），与过A点的直线相交于另一点D（3， $\text{[math]}$ ），过点D作DC⊥x轴，垂足为C．

（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在线段OC上（不与点O、C重合），过P作PN⊥x轴，交直线AD于M，交抛物线于点N，连接CM，求△PCM面积的最大值；
（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

（1）问题背景.
如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是线段BC、线段CD上的点.若∠BAD=2∠EAF，试探究线段BE、EF、FD之间的数量关系.

童威同学探究此问题的方法是，延长FD到点G.使DG=BE.连接AG，先证明△ABE≌△ADG.再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是.
（2）猜想论证.
如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E在线段BC上、F在线段CD延长线上. 若∠BAD=2∠EAF，上述结论是否依然成立？若成立说明理由；若不成立，试写出相应的结论并给出你的证明.
（3）拓展应用.
如图3，在四边形ABCD中，∠BDC=45°，连接BC、AD，AB：AC：BC=3：4：5，AD=4，且∠ABD+∠CBD=180°.则△ACD的面积为

如图，在矩形ABCD中，AB＝12，P是AB上一点，将△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是G ，过点B作BE⊥CG ，垂足为E ，且在AD上，BE交PC于点F ，则下列结论，其中正确的结论有（　　）

①BP＝BF；②若点E是AD的中点，那么△AEB≌△DEC；③当AD＝25，且AE＜DE时，则DE＝16；④在③的条件下，可得sin∠PCB＝ $\text{[math]}$ ；⑤当BP＝9时，BE•EF＝108．

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A . 2个 B . 3个 C . 4个 D . 5个

如图，四边形ABCD是正方形，以BC为底边向正方形外部作等腰直角三角形BCE，连接AE，分别交BD，BC于点F，G，则下列结论：①△AFB∽△ABE；②△ADF∽△GCE；③CG=3BG；④AF=EF，其中正确的有（）.

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A . ①③ B . ②④ C . ①② D . ③④

已知正方形 $\text{[math]}$ 的边长为a ，两条对角线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点O ， P是射线A上任意一点，过P点分别作直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的垂线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足为E ， F ．

（1）如图，当P点在线段 $\text{[math]}$ 上时， $\text{[math]}$ 的值是否为定值？如果是，请直接写出该值；如果不是，请加以说明；
（2）如图，当P点在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上时，求 $\text{[math]}$ 的值

如图，正方形 $\text{[math]}$ 中，F为 $\text{[math]}$ 上一点，E是 $\text{[math]}$ 延长线上一点，且 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，M是 $\text{[math]}$ 中点，连结 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点N．则4个结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；正确的结论有 $\text{[math]}$ 　　 $\text{[math]}$ 个

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A . 4 B . 3 C . 2 D . 1

如图，△ABC的中线BD ， CE交于点O ， F ， G分别是BO ， CO的中点．

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（1）求证：四边形DEFG是平行四边形．
（2）若AB＝AC ，则四边形DEFG是（填写特殊的平行四边形）．
（3）若四边形DEFG是边长为2的正方形，试求△ABC的周长．

如图，点E是正方形ABCD内一动点，满足∠AEB＝90°且∠BAE＜45°，过点D作DF⊥BE交BE的延长线于点F ．

（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示线段EF ， DF ， BE之间的数量关系，并证明；
（3）连接CE ，若AB＝2 $\text{[math]}$ ，请直接写出线段CE长度的最小值．

如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点O为对角线 $\text{[math]}$ 的中点，点P从点A出发，沿折线 $\text{[math]}$ 以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，当点P与点A不重合时，过点P作 $\text{[math]}$ 于点Q，以 $\text{[math]}$ 为边向右作正方形 $\text{[math]}$ ，设正方形 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．

（1）求点N落在 $\text{[math]}$ 上时t的值．
（2）直接写出点O在正方形 $\text{[math]}$ 内部时t的取值范围．
（3）当点P在折线 $\text{[math]}$ 上运动时，求S与t之间的函数关系式．
（4）直接写出直线 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 面积时t的值．

在正方形ABCD中，点M是边CD上一点，点N是边AD上一点，连接BM ， CN相交于点P ，且CM=DN ．

（1）如图1，请判断线段BM与CN的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
（2）如图2，延长CN到点Q ，连接DQ ，且∠CQD=45°．
①请直接写BP ， CP ， CQ之间的数量关系为；

②连接AC ， AQ ，当BP=2CP ， △ACQ的面积是6时，请直接写出NQ的长为；
（3）点E在线段CN上，连接BE ， DE ，当AB $\text{[math]}$ ，∠BED=135°，BE $\text{[math]}$ DE=3 $\text{[math]}$ 时，请直接写出NE的长为．

如图，如图正方形 $\text{[math]}$ 内一点E ，满足 $\text{[math]}$ 为正三角形，直线AE交BC于F点，过E点的直线 $\text{[math]}$ ，交AB于点G ，交CD于点H ．以下结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ，其中正确的有（　　）

A . ①②③ B . ①③④ C . ①④ D . ①②③④

在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一动点，以 $\text{[math]}$ 为边，在 $\text{[math]}$ 的右侧作正方形 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ .

（1）如图1，当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时，则 $\text{[math]}$ 的长为.
（2）如图2，当 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离和 $\text{[math]}$ 的长.
（3）当 $\text{[math]}$ 最短时，请直接写出此时 $\text{[math]}$ 的长.

如图所示，▱ABCD的边AB在x轴上，点D在y轴上，已知OA＝3，AD＝6，BD⊥AD ，从C点出发的点E ，以每秒1个单位的速度向点D移动．M是BD的中点，EM的延长线交AB于点F ．

（1）求点B ， C的坐标；
（2）当四边形EFBC是平行四边形时，求点E的移动时间t（秒）．
（3）当△DEM为等腰三角形时，求CE的长．

如图，正方形ABCD中，BE＝EF＝FC，CG＝2GD，BG分别交AE、AF于M、N，下列结论：①AF⊥BG；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ，其中正确的有（）

A . ①②③ B . ②③④ C . ①②④ D . ①③④

如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且满足 $\text{[math]}$ =AD ，连接CE并延长交AD于点F ，连接AE ，过点B作 $\text{[math]}$ 于点G ，延长BG交AD于点H ．在下列结论中：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ . 其中错误的结论有（）

A . 0个 B . 1个 C . 2个 D . 3个

如图①，在矩形 $\text{[math]}$ 中，点A在 $\text{[math]}$ 轴正半轴上，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴正半轴上，点 $\text{[math]}$ 在第一象限， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标：；
（2）如图②，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，点 $\text{[math]}$ 恰好与线段 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ 重合，求线段 $\text{[math]}$ 的长度；
（3）如图③， $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 交线段 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 在第一象限，且 $\text{[math]}$ ，试求符合条件的所有点 $\text{[math]}$ 的坐标．

问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题．如图1，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，分别以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为边在正方形 $\text{[math]}$ 内部作等边三角形 $\text{[math]}$ 与等边三角形 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并加以证明．

（1）数学思考：请解答老师出示的问题．
（2）深入探究：试判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并加以证明．
（3）问题拓展：将 $\text{[math]}$ 从图1的位置开始沿射线 $\text{[math]}$ 的方向平移得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．当四边形 $\text{[math]}$ 是矩形时，得到图2．请直接写出平移的距离．