四边形的综合知识点题库

折纸是一项有趣的活动，在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动，确定图形位置等，进一步发展空间观念. 今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸.

实践操作

如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点 $\text{[math]}$ 落在矩形ABCD所在平面内， $\text{[math]}$ C和AD相交于点E，连接 $\text{[math]}$ D．

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（1）解决问题
在图1中，① $\text{[math]}$ D和AC的位置关系是；②将△AEC剪下后展开，得到的图形是；
（2）若图1中的矩形变为平行四边形时(AB≠BC)，如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明；若不成立，请说明理由；
拓展应用
（3）在图2中，若∠B=30^o ， AB= $\text{[math]}$ ，当A $\text{[math]}$ ⊥AD时，BC的长度为.

如图①，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长度的速度沿 $\text{[math]}$ 向终点 $\text{[math]}$ 匀速运动，作 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 为边向右作正方形 $\text{[math]}$ 设正方形 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的重叠部分的面积为 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 的运动时间为 $\text{[math]}$ （秒）．

（1）填空： $\text{[math]}$ ，用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ ；
（2）当点 $\text{[math]}$ 落在边 $\text{[math]}$ 上时，求 $\text{[math]}$ 的值．
（3）当正方形 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的重叠部分图形为四边形时，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数关系式．
（4）如图②，点 $\text{[math]}$ 出发的同时，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长度的速度沿 $\text{[math]}$ 向终点 $\text{[math]}$ 匀速运动，作 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 为斜边向左构造等腰直角 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 的直角顶点R落在正方形的边或对角线上时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

数学课堂上，老师提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，E是AC的中点，P是BE的中点，则称AP是△ABC的“双中线”.若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求AP的长.

小明的解题思路如下：

解：在 $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

∵点E是AC的中点

$\text{[math]}$

在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

∵P是 $\text{[math]}$ 的斜边BE的中点

$\text{[math]}$

阅读上述材料，解答下面两个问题：

（1）如图2，在正方形 $\text{[math]}$ 中，E是CD的中点，P是BE的中点，则称AP是正方形ABCD的“双中线”，若AB＝4，则AP的长是；
（2）如图3，AP是矩形ABCD的“双中线”.若AB＝4，BC＝6，求AP的长.
（3）如图4，AP是平行四边形ABCD的“双中线”，.若AB＝4，BC＝10， $\text{[math]}$ .求出△ABP的周长.

如图，点P是边长为 $\text{[math]}$ 的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF=MC；②AH⊥EF；③AP²=PM•PH；④EF的最小值是 $\text{[math]}$ ．其中正确结论是（）

A . ①③ B . ②③ C . ②③④ D . ②④

如图，在正方形ABCD中，E为AB边上一点（不与点A ， B重合），CF⊥DE于点G ，交AD于点F ，连接BG ．

（1）求证：AE=DF；
（2）是否存在点E的位置，使得△BCG为等腰三角形？若存在，写出一个满足条件的点E的位置并证明；若不存在，说明理由．

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$

（1）如图1，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．
①求证： $\text{[math]}$ ．

②请判断 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由；
（2）如图2，若 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，请判断 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由．
（3）如图3， $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 的角平分线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

如图，周长为24的□ABCD对角线AC ， BD交于点O ， AC⊥CD且BE=CE ，若AC=6，则△AOE的周长为（）

A . 6 B . 9 C . 12 D . 15

在平面直角坐标系xOy中，对于两点A，B，给出如下定义：以线段AB为边的正方形称为点A，B的“确定正方形”．如图1为点A，B的“确定正方形”的示意图．

（1）如果点C的坐标为（0，1），点D的坐标为（2，1），画出点C，D的一个“确定正方形”，这个正方形的面积是；
（2）已知点O的坐标为（0，0），点M为直线y＝x＋b（b＞0）上一动点，当点O，M的“确定正方形”的面积最小，且最小面积为1时，求b的值．
（3）已知点E在以边长为2的正方形的边上，且该正方形的边与两坐标轴平行，对角线交点为P（m，0），点F在直线y＝﹣x﹣2上，若要使所有点E，F的“确定正方形”的面积都不小于2，直接写出m的取值范围．

如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿 $\text{[math]}$ 以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长度的速度向终点 $\text{[math]}$ 运动，当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 不重合时，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作射线 $\text{[math]}$ 垂线段 $\text{[math]}$ ，垂足为点 $\text{[math]}$ ，得到矩形 $\text{[math]}$ ，设点 $\text{[math]}$ 的运动时间为 $\text{[math]}$ 秒．

（1）求点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时 $\text{[math]}$ 的值；
（2）设矩形 $\text{[math]}$ 与菱形 $\text{[math]}$ 重叠部分图形的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的函数关系式；
（3）设矩形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，
①当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的值为 ▲ ；

② $\text{[math]}$ 时，求出 $\text{[math]}$ 的值．

如图，在正方形ABCD中， $\text{[math]}$ BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF相交于点H．给出以下结论：①AF＝DE；②∠ADP＝15°；③ $\text{[math]}$ ；④PD²＝PH•PB，其中正确的是．（填写正确结论的序号）

如图，已知E为正方形ABCD的边AD上一点，连结CE，点B关于CE的对称点为 $\text{[math]}$ 连结 $\text{[math]}$ ，并延长 $\text{[math]}$ 交BA的延长线于点F，延长CE交 $\text{[math]}$ 于点G，连结BG.

（1）求证： $\text{[math]}$ .
（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求BG的长.
（3）在（2）的条件下，H为直线BG上一点，过点H作CG的平行线 $\text{[math]}$ .当直线 $\text{[math]}$ 恰好经过 $\text{[math]}$ 的顶点时，求BH的长.

如图， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ 中，错误的有（）

A . $\text{[math]}$ 个 B . $\text{[math]}$ 个 C . $\text{[math]}$ 个 D . $\text{[math]}$ 个

已知正方形 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）如图1，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的一点，且 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别与边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .
①求证： $\text{[math]}$ ；

②求证： $\text{[math]}$ .
（2）如图2，在边 $\text{[math]}$ 上取一点 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

如图，四边形 $\text{[math]}$ 为正方形， $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ．有下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ，其中正确的是（）

A . ①② B . ②③ C . ①②③ D . ①②③④

如图，在四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求AB的长；
（2）动点P从点B出发，沿射线BC以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点A出发，沿线段AD以每秒1个单位长度的速度运动，当点Q运动到点D时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，以P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形？
②是否存在点P，使 $\text{[math]}$ 是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出相应的t的值；若不存在，请说明理由．

如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边的中点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 恰好平分 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长是．

我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形（如图1）．下面就让小聪同学带领你们来探索垂美四边形的奥秘吧！请看下面题目：

（1）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系．猜想结论：（要求用文字语言叙述） ▲ 写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证、证明）．
（3）如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=2cm，AB=3cm，则GE长为．(直接写出结果，不需要写出求解过程)

如图，在正方形ABCD中，AB=3，点P为正方形ABCD的对角线AC上一动点，过点P作PE⊥PB交边DC于点E．

（1）如图①，当点E在边CD上时，求证：PB＝PE；
（2）如图②，在（1）的条件下，连接BE交AC于点F，若CE=1，求PF的长；
（3）如图③，若点Q是射线CD上的一个动点，且始终满足AP＝CQ，设BP+BQ= $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的最小值．

已知：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形，点E是 $\text{[math]}$ 边的中点，连接 $\text{[math]}$ ，过点A作 $\text{[math]}$ ，垂足为点G，交 $\text{[math]}$ 边于点F，点H是线段 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）如图1，求证： $\text{[math]}$ ；
（2）如图2，延长 $\text{[math]}$ 交C $\text{[math]}$ 边于点K，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 至点M，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

如图， ▱ ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°， $\text{[math]}$ ，连接OE．下列结论：①∠ADO＝30°；②S _{▱ ABCD}＝AB·AC；③OB＝AB；④S_四_边_形OECD＝ $\text{[math]}$ S_△AOD ，其中成立的个数为( )

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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