四边形的综合知识点题库

已知，矩形ABCD中，AB＝4cm ， BC＝8cm ， AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F ，垂足为O ．

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（1）如图（1），连接AF、CE ．
①四边形AFCE是什么特殊四边形？说明理由；

②求AF的长；
（2）如图（2），动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为每秒5cm ，点Q的速度为每秒4cm ，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．

如图1，在▱ABCD中，∠D=45°，E为BC上一点，连接AC，AE，

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（1）若AB=2 $\text{[math]}$ ，AE=4，求BE的长；
（2）如图2，过C作CM⊥AD于M，F为AE上一点，CA=CF，且∠ACF=∠BAE，求证：AF+AB= $\text{[math]}$ AM.

如图

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（1）正方形中 $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，如图1，请直接猜想并写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系：
（2）如图2，将（1）中的 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请猜想线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，矩形 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 有公共顶点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

如图1，在正方形ABCD中，AD＝9，点P是对角线BD上任意一点（不与B、D重合），点O是BD的中点，连接PC，过点P作PE⊥PC交直线AB于点E．

（1）初步感知：
当点P与点O重合时，比较：PCPE（选填“＞”、“＜”或“＝”）．
（2）再次感知：
如图1，当点P在线段OD上时，如何判断PC和PE数量关系呢？

甲同学通过过点P分别向AB和BC作垂线，构造全等三角形，证明出PC＝PE；

乙同学通过连接PA，证明出PA＝PC，∠PAE＝∠PEA，从而证明出PC＝PE．

理想感悟：如图2，当点P落在线段OB上时，判断PC和PE的数量关系，并说明理由．
（3）拓展应用：连接AP，并延长AP交直线CD于点F．
当 $\text{[math]}$ ＝时，如图3，直接写出 $\text{[math]}$ 的面积为；
（4）直接写出 $\text{[math]}$ 面积S的取值范围．

如图，P为正方形ABCD的对角线上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F．

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（1）判断DP与EF的关系，并证明；
（2）若正方形ABCD的边长为6，∠ADP：∠PDC＝1：3．求PE的长．

已知正方形ABCD与正方形（点C、E、F、G按顺时针排列），M是AF的中点，连接DM，EM.

（1）如图1，点E在上CD，点G在BC的延长线上，
求证：DM=EM，DM⊥EM

简析：由M是AF的中点，AD∥EF，不妨延长EM交AD于点N，从而构造出一对全等的三角形，即≌由全等三角形性质，易证△DNE是三角形，进而得出结论.
（2）如图2，E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由.
（3）当AB=5，CE=3时，正方形的顶点C、E、F、G按顺时针排列.若点 $\text{[math]}$ 在直线CD上，则DM=若点E在直线BC上，则DM=.、

如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中，E是对角线 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点C按顺时针方向旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

下列结论：

①若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

② $\text{[math]}$ ；

③若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

④若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

其中正确的结论有（）

A . 4个 B . 3个 C . 2个 D . 1个

如图，四边形ABCD是正方形，△ECF为等腰直角三角形，∠ECF＝90°，点E在BC上，点F在CD上，N为EF的中点，连结NA ，以NA ， NF为邻边作□ANFG ．连结DG ， DN ，将Rt△ECF绕点C顺时针方向旋转，旋转角为 $\text{[math]}$ （0°≤ $\text{[math]}$ ≤360°）．

（1）如图1，当 $\text{[math]}$ ＝0°时，DG与DN的关系为；
（2）如图2，当 $\text{[math]}$ 时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）在Rt△ECF旋转的过程中，当□ANFG的顶点G落在正方形ABCD的边上，且AB＝12，EC＝ $\text{[math]}$ 时，连结GN ，请直接写出GN的长．

如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形边CB、CD上，连接AF ，取AF中点M ， EF的中点N ，连接MD、MN ．

（1）连接AE ，则△AEF是三角形，MD、MN的数量关系是．
（2）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则MD、MN的数量关系还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图1中正方形ABCD及直角三角板ECF同时绕点C顺时针旋转90°，如图3，其他条件不变，则MD、MN的数量关系还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

阅读下列材料：

问题：如图1，在正方形ABCD内有一点P，PA＝ $\text{[math]}$ ，PB＝ $\text{[math]}$ ，PC＝1，求∠BPC的度数.

小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A（如图2），然后连接PP′.

请你参考小明同学的思路，解决下列问题：

（1）如图2，△APP′为，△BPP′为；（填等腰三角形，直角三角形或等腰直角三角形）
（2）如图2，∠BPC的度数为；
（3）如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA＝2 $\text{[math]}$ ，PB＝4，PC＝2，
则求：①∠BPC的度数；

②正六边形ABCDEF的边长.

如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点(点M不与点B，C重合)，过点C作CN⊥DM交AB于点N，连结OM、ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②ON＝OM；③ON⊥OM；④若AB＝2，则S_△OMN的最小值是1；⑤AN²+CM²＝MN² ．其中正确结论是；(只填序号)

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 点D是边AB上的一个动点，连接CD．作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接ED．

（1）如图1，当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ ；
（2）如图2，当D是AB的中点时，
①四边形ADCE的形状是 ▲ ；请说明理由．

②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则四边形ADCE的面积为 ▲ ．

如图1，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点F在边 $\text{[math]}$ 上，过点F作 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，点G是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）用等式表示线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系：；
（2）将图1中的 $\text{[math]}$ 绕点C按逆时针旋转，使 $\text{[math]}$ 的顶点F恰好在正方形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 上，点G仍是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．
①在图2中，依据题意补全图形；

②用等式表示线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系并证明．

如图，在长方形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点P从点B出发沿BC向点C运动，速度是 $\text{[math]}$ ，动点Q从点C出发沿CB向点B运动，速度是 $\text{[math]}$ 、Q两点同时出发，当点Q到达点B时，两点同时停止运动，设运动的时间是t秒：

（1）在点P、Q运动过程中： $\text{[math]}$ cm， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 用含t的代数式表示 $\text{[math]}$ ；
（2）当t为何值时，点P与点Q相遇？
（3）当t为何值时， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ？

已知，平行四边形ABCD中，一动点P在AD边上，以每秒1cm的速度从点A向点D运动.

（1）如图①，运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD＝CP，求∠ABC的度数.
（2）如图②，在（1）问的条件下，连接BP并延长，与CD的延长线交于点F，连接AF，若AB＝8cm，求△APF的面积.
（3）如图③，另一动点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若AD＝12cm，则t为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形.

在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是射线 $\text{[math]}$ 上一动点，以 $\text{[math]}$ 为边向右侧作等边 $\text{[math]}$ ．

（1）如图1，当点E在菱形 $\text{[math]}$ 内部或边上时，连接 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是____， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系是____；

（1）当点E在菱形 $\text{[math]}$ 外部时（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（请结合图2的情况予以证明或说理．）
（2）如图3，当点P在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上时，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积．

如图1，有一张矩形纸片 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，现将纸片进行如下操作：先将纸片沿折痕 $\text{[math]}$ 进行折叠，使点A落在 $\text{[math]}$ 边上的点E处，点F在 $\text{[math]}$ 上（如图2）；然后将纸片沿折痕 $\text{[math]}$ 进行第二次折叠，使点C落在第一次的折痕 $\text{[math]}$ 上的点G处，点H在 $\text{[math]}$ 上（如图3），则 $\text{[math]}$ 的长是．

如图1，在 $\text{[math]}$ ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，AN为∠CAM的平分线．

（1）求证：∠DAN＝90°；
（2）如图2，过点C作CE∥AD，交AN于点E，求证：四边形ADCE为矩形；
（3）求当AD和BC满足怎样的数量关系时，四边形ADCE是正方形，并说明理由．

如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得EF=DE，连接CD，CF，BF．

（1）求证：四边形BFCD是菱形；
（2）若cosA= $\text{[math]}$ ， DE=5，求菱形BFCD的面积．

如图1，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

（1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形；
（2）如图2所示，将四边形 $\text{[math]}$ 沿着 $\text{[math]}$ 折叠，使得点D落在 $\text{[math]}$ 边上，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；
（3）在（2）的条件下，以点A为原点， $\text{[math]}$ 边所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，将 $\text{[math]}$ 沿射线 $\text{[math]}$ 方向平移得到 $\text{[math]}$ ，如图3所示，若点B的坐标为 $\text{[math]}$ ，点D的坐标为 $\text{[math]}$ ，则在这个平移过程中，点 $\text{[math]}$ 、B、 $\text{[math]}$ 是否可以构成等腰三角形？若可以，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标，若不可以，请说明理由．

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