四边形的综合知识点题库

如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝4 $\text{[math]}$ ，E为对角线AC上的动点（点E不与A，C重合），连接BE，将射线EB绕点E逆时针旋转120°后交射线AD于点F．

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（1）如图1，当AE＝AF时，求∠AEB的度数；
（2）如图2，分别过点B，F作EF，BE的平行线，且两直线相交于点G．
①试探究四边形BGFE的形状，并求出四边形BGFE的周长的最小值；

②连接AG，设CE＝x，AG＝y，请直接写出y与x之间满足的关系式，不必写出求解过程．

在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．

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（1）依题意补全图1；
（2）若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数；
（3）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．

如图，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形， $\text{[math]}$ 是等边三角形， $\text{[math]}$ 为对角线 $\text{[math]}$ （不含 $\text{[math]}$ 点）上任意一点，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .设点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ .

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（1）若建立平面直角坐标系，满足原点在线段 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .且 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），则点 $\text{[math]}$ 的坐标为，点 $\text{[math]}$ 的坐标为；请直接写出点 $\text{[math]}$ 纵坐标 $\text{[math]}$ 的取值范围是；
（2）若正方形的边长为2，求 $\text{[math]}$ 的长，以及 $\text{[math]}$ 的最小值. (提示：连结 $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ )

下图是华师版八年级下册数学教材第112页的部分内容．

如图，已知菱形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ．

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（1）试求这个菱形的两条对角线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的长．（结合图①，写出求解过程，结果保留根号）
（2）如图②，过图①中的点 $\text{[math]}$ 分别作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 的面积为．
（3）如图③，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ．将其绕着点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转90°得到菱形 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则旋转前后两个菱形重叠部分图形的周长为．

在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，连接AE、BE，已知AE、BE分别为∠DAB、∠CBA的平分线．

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（1）如图1，求证：AE⊥BE．
（2）如图2，过B作BF⊥DC过C作CG⊥AG，求证：CG＝2BF．
（3）在（2）的条件下，如图3，延长AE、BE，分别交CG、DG于点N、M，已知∠DAB＝45°，BC＝5，求四边形GMEN的面积．

综合与探究

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（1）如图1，在正方形 $\text{[math]}$ 中，E是 $\text{[math]}$ 上一点，F是 $\text{[math]}$ 延长线上一点，且 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间有怎样的关系．请说明理由．
（2）如图2，在正方形 $\text{[math]}$ 中，E是 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点，如果 $\text{[math]}$ ，请你利用（1）的结论证明： $\text{[math]}$ ．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3在直角梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，E是 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E是直线 $\text{[math]}$ 上的一点，点F是直线 $\text{[math]}$ 上的一点，且满足 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G．

（1） $\text{[math]}$ ；
（2）如图1，当点E在 $\text{[math]}$ 上，点F在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上时，
①求证： $\text{[math]}$ ；

②求证： $\text{[math]}$ ；
（3）如图2，当点E在 $\text{[math]}$ 的延长线上，点F在线段 $\text{[math]}$ 上时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点H，
① $\text{[math]}$ 这个结论是否仍然成立？请直接写出你的结论：

②当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长．

如图1和图2，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点K在 $\text{[math]}$ 边上，点M， $\text{[math]}$ 分别在AB， $\text{[math]}$ 边上，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从点M出发沿折线 $\text{[math]}$ 匀速运动，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上随 $\text{[math]}$ 移动，且始终保持 $\text{[math]}$ ；点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发沿 $\text{[math]}$ 匀速运动，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 同时出发，点 $\text{[math]}$ 的速度是点 $\text{[math]}$ 的一半，点 $\text{[math]}$ 到达点 $\text{[math]}$ 停止，点 $\text{[math]}$ 随之停止．设点 $\text{[math]}$ 移动的路程为 $\text{[math]}$ ．

（1）当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上时，求点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的距离（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）；
（2）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；
（3）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
（4）已知点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 再到点 $\text{[math]}$ 共用时 $\text{[math]}$ 秒，若 $\text{[math]}$ ，请直接写出点K在线段 $\text{[math]}$ 上（包括端点）的总时长．

综合与实践

（1）操作探究
如图1，将矩形 $\text{[math]}$ 折叠，使点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，折痕为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．请回答下列问题：

①与 $\text{[math]}$ 全等的三角形为 ▲ ，与 $\text{[math]}$ 相似的三角形为 ▲ ．并证明你的结论：（相似比不为1，只填一个即可）：

②若连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，请判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状： ▲ ．并证明你的结论；
（2）拓展延伸
如图2，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分別在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 边上，且 $\text{[math]}$ ，将矩形折叠，使点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，折痕为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

①设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系为；

②设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请用含 $\text{[math]}$ 的式子表示 $\text{[math]}$ ：；

③ $\text{[math]}$ 的最小值为．

如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC ， BD交于点O ，折叠正方形纸片ABCD ，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB ， AC于点E ， G ，连接GF ， EF ，给出下列结论：①∠ADG=22.5°；②四边形AEFG是菱形；③S_△AGD=S_△OGD；④BE=2OG ．其中正确的结论是．（将所有正确结论的序号都填写在横线上）

如图，四边形 $\text{[math]}$ 为矩形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，P、Q均从点B出发，点P以2个单位每秒的速度沿 $\text{[math]}$ 的方向运动，点Q以1个单位每秒的速度沿 $\text{[math]}$ 运动，设运动时间为t秒．

（1）求 $\text{[math]}$ 的长；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求S关于t的解析式．

定义：如果一个凸四边形有三条边相等，那么称这个凸四边形为“准等边四边形”.如正方形就是一个“准等边四边形”.

（1）如图，在给定的网格中，找到格点 $\text{[math]}$ .使得以 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是准等边四边形，请按要求画两个且不全等的准等边四边形.
（2）如图1， $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针方向旋转一个角度 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$

①求证：四边形 $\text{[math]}$ 是准等边四边形；

②如图2，连接BE，求证： $\text{[math]}$ ；
（3）如图3，在准等边四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，请求出 $\text{[math]}$ 的大小及该四边形的面积.

如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一动点（不含端点和中点），以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为边向上作正方形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .连接 $\text{[math]}$ 并作 $\text{[math]}$ 平行 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，再以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为边作平行四边形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的度数.
（2）当四边形 $\text{[math]}$ 的面积为15时，求 $\text{[math]}$ 的长.
（3）当 $\text{[math]}$ 是等腰三角形时，直接写出 $\text{[math]}$ 的长.

如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）概念理解：如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，问四边形 $\text{[math]}$ 是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）性质探究：试探究垂美四边形 $\text{[math]}$ 两组对边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系，写出证明过程（先画出图形）
（3）问题解决：如图，分别以 $\text{[math]}$ 的直角边 $\text{[math]}$ 和斜边 $\text{[math]}$ 为边向外作正方形 $\text{[math]}$ 和正方形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

（问题背景）

（1）如图，点 $\text{[math]}$ 是等边 $\text{[math]}$ 内一点， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数.
（方法探索）

小丽通过分析、思考，形成如下思路：

思路一：将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，从而求出 $\text{[math]}$ 的度数；

思路二：将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，从而求出 $\text{[math]}$ 的度数.

······

下面是某位同学的解题，请你完成后续解题过程；

解：把 $\text{[math]}$ 绕着点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .

请接着写下去：
（2）（类比探究）如图，若点 $\text{[math]}$ 是正方形 $\text{[math]}$ 内一点， $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ ﹔
（3）如图，点 $\text{[math]}$ 在正方形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 上，且满足 $\text{[math]}$ 直接写出线段 $\text{[math]}$ 间的数量关系为；
（4）（拓展延伸）如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，问线段 $\text{[math]}$ 是否存在最小值?若存在，请求出最小值.若不存在，请说明理由.

菱形ABCD的对角线AC ， BD相交于点O ， E是AD的中点，点F ， G在AB上，EF⊥AB ， OG∥EF ． AD=10，EF=4，则BG的长．

如图，在菱形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，使 $\text{[math]}$ ，且CF、DE相交于点G

（1）当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形；
（2）当 $\text{[math]}$ 时，求AE的长；
（3）当点E从点A开始向右运动到点B时，求点G运动路径的长度．

如图①，BD为四边形ABCD的对角线， $\text{[math]}$ BDE 与 $\text{[math]}$ BDA关于直线BD对称，BE经过CD的中点F，连接CE，∠1=∠2+∠3．

（1）求证：∠4=∠BCE；
（2）若BF=CE+EF，求证：DE·BE= CE·BC；
（3）如图②，任（2）的条件下，连接AC交BD于点O，若OB=2，求OD的长．

如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点P是半径OB上一动点（不与O，B重合），过点P作射线l⊥AB，分别交弦BC， $\text{[math]}$ 于D、E两点，在射线l上取点F，使FC＝FD．

（1）求证：FC是⊙O的切线；
（2）当点E是 $\text{[math]}$ 的中点时，
① 若∠BAC＝60°，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；
② 若 $\text{[math]}$ ，且AB＝20，求OP的长．

△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D为直线BC上一动点（点D不与B ， C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF ，连接CF ，

（1）观察猜想
如图1，当点D在线段BC上时，

①BC与CF的位置关系为：．

②BC ， CD ， CF之间的数量关系为：；（将结论直接写在横线上）
（2）数学思考
如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出符合题意结论再给予证明．
（3）拓展延伸
如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G ，连接GE ，若已知AB=2 $\text{[math]}$ ， CD= $\text{[math]}$ BC ，请求出GE的长．

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