题目

如图，四边形 为矩形， ， ，P、Q均从点B出发，点P以2个单位每秒的速度沿 的方向运动，点Q以1个单位每秒的速度沿 运动，设运动时间为t秒． （1） 求 的长； （2） 若 ，求S关于t的解析式． 答案： 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ ∠B=90° ， ∵ AB=3 ， BC=4 ， ∴ AC=AB2+BC2=5 ； 解：由题意得当点P到达点C时，点Q恰好到达点C，则有： 当点P在AB上时，即 0≤t≤32 ，如图所示： ∴ BP=2t，BQ=t ， ∴ S=12BP⋅BQ=12×2t×t=t2 ； 当点P在AC上，点Q在BC上时，即 32<t≤4 ，过点P作PE⊥BC于点E，如图所示： ∴ PC=8−2t ， 由（1）可得 sin∠PCE=35 ， ∴ PE=CP⋅sin∠PCE=35(8−2t) ， ∴ S=12BQ⋅PE=12×35×(8−2t)×t=−35t2+125t ； 当点P与点C重合，点Q在CD上时，即 t>4 ，如图所示： ∴ BP=4，CQ=t−4 ， ∴ S=12BP⋅PQ=12×4×(t−4)=2t−8 ； 综上所述：S关于t的解析式为 S={t2，0≤t≤32−35t2+125t，32<t≤42t−8，t>4 ．

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