四边形的综合知识点题库

已知，如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x≤8），点E在边CD上，且CE＝CB ，以AE为对角线作正方形AGEF ．设正方形AGEF的面积y ．

图片_x0020_100022

（1）当点F在矩形ABCD的边上时，x＝．
（2）求y与x的函数关系式及y的取值范围．
（3）当矩形ABCD的一条边将正方形AGEF的面积分为1：3两部分时，直接写出x的值．

在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O；在Rt△PMN中，∠MPN

90°．

图片_x0020_100022

（1）如图1，若点P与点O重合且PM⊥AD、PN⊥AB，分别交AD、AB于点E、F，请直接写出PE与PF的数量关系；
（2）将图1中的Rt△PMN绕点O顺时针旋转角度α（0°<α<45°）．
①如图2，在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

②如图2，在旋转过程中，当∠DOM 15°时，连接EF，若正方形的边长为2，请求出线段EF的长；

③如图3，旋转后，若Rt△PMN的顶点P在线段OB上移动（不与点O、B重合），当BD 3BP时，猜想此时PE与PF的数量关系，并给出证明；当BD m·BP时，请直接写出PE与PF的数量关系．

已知正方形ABCD，直线l垂直平分线段BC，点M是直线l上一动点，连结BM，将线段BM绕点M顺时针旋转90°得到线段MN，连接BN.

（1）如图1，点M在正方形内部，连接NC，求 $\text{[math]}$ 的度数；
（2）如图2，点M在正方形内部，连接ND，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

如图，平面直角坐标系中，四边形ABCO为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，B点坐标是（3， $\text{[math]}$ ）.点E从点A出发，沿AO向点O运动，速度为每秒 $\text{[math]}$ 个单位长度，同时点F从点A出发，沿AB向点B运动，速度为每秒1个单位长度，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动.将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为G点，设运动时间为t秒.

（1）当点G落在线段OB上时，t＝；当点G落在线段CB上时，t＝；
（2）在整个运动过程中，求△EFG与△ABO重叠部分的面积S与t的函数表达式，并写出t的取值范围；
（3）当点G落在线段BC上时，是否在x轴上存在点N，直线EF上存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由.

定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形.

根据以上定义，解决下列问题：

（1）如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF填（“是”或“不是”）“直等补”四边形；
（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD＞AB，过点B作BE⊥AD于E.
①过C作CF⊥BF于点F，试证明：BE＝DE，并求BE的长；

②若M是AD边上的动点，求△BCM周长的最小值.

如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，P是 $\text{[math]}$ 边上一动点（不与D点重合），连接 $\text{[math]}$ ，点D与点E关于 $\text{[math]}$ 所在的直线对称，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 到点F，使得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）依题意补全图1；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长；
（3）当点P在 $\text{[math]}$ 边上运动时，能使为 $\text{[math]}$ 等腰三角形，直接写出此时 $\text{[math]}$ 的面积．

在 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为邻边作平行四边形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）如图1，当点E在边 $\text{[math]}$ 上时， $\text{[math]}$ 的值为，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的位置关系是.
（2）将 $\text{[math]}$ 由图1的位置绕点C顺时针旋转一周.
①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由.

②当以B，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长度.

如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝15， $\text{[math]}$ ．点P为AD边上任意一点，连接PB，将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．

（1）当∠DPQ＝10°时，求∠APB的大小．
（2）当 $\text{[math]}$ 时，求点Q与点B间的距离（结果保留根号）．
（3）若点Q恰好落在平行四边形ABCD的边所在直线上时，直接写出PB旋转到PQ时点B经过的路径的长（结果保留 $\text{[math]}$ ）．

在▱ $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，交对角线 $\text{[math]}$ 于点G ，交射线 $\text{[math]}$ 于点E ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点E顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得线段 $\text{[math]}$ ．

（1）如图1，当 $\text{[math]}$ 时，连接 $\text{[math]}$ ，请直接写出线段 $\text{[math]}$ 和线段 $\text{[math]}$ 的数量关系；
（2）如图2，当 $\text{[math]}$ 时，过点B作 $\text{[math]}$ 于点，连接 $\text{[math]}$ ，请写出线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由；
（3）当 $\text{[math]}$ 时，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 面积的比值．

综合与实践：利用矩形的折叠开展数学活动，探究体会图形在轴对称，旋转等变换过程中的变化，及其蕴含的数学思想和方法．

动手操作：如图①，矩形纸片ABCD的边AB＝2 $\text{[math]}$ ，将矩形纸片ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，折痕为EF ，然后展开，EF与AC交于点H；

如图②，将矩形ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在对角线AC上，且点B与点H重合，展开图形，折痕为AG ，连接GH；

若在图①中连接BH ，得到如图③，点M是线段BH上的动点，点N是线段AH上的动点，连接AM ， MN ，且∠AMN＝∠ABH；

若在图②中连接BH ，交折痕AG于点Q ，隐去其它线段，得到如图④．

（1）解决问题：
在图②中，∠ACB＝，BC＝， $\text{[math]}$ ＝，与△ABG相似的三角形有个；
（2）在图②中，AH²＝AE $\text{[math]}$ ▲ （从图②中选择一条线段填在空白处），并证明你的结论；
（3）在图③中，△ABH为三角形，设BM为x ，则NH＝（用含x的式子表示）；
（4）拓展延伸：
在图④中，将△ABQ绕点B按顺时针方向旋转α（0°≤α≤180°），得到△A′BQ′，连接DQ′，则DQ′的最小值为，当tan∠CBQ′＝时，△DBQ′的面积最大值为．

如图，四边形 $\text{[math]}$ 是边长为8的正方形，点E在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，过点E作 $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于点G、F ， M、N分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ 的长是（）

A . 4 B . 5 C . 6 D . 7

已知，在正方形 $\text{[math]}$ 中，连接对角线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为射线 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）如图1，当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上时
①依题意补全图1；

②猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并证明．
（2）如图2，当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边的延长线上时，补全图2，并直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系．

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＞AC ，按以下步骤作图：

⑴分别以点A ， B为圆心，以大于 $\text{[math]}$ AB的长为半径作弧，两弧相交于M ， N两点（点M在AB的上方）；

⑵作直线MN交AB于点O ，交BC于点D；

⑶用圆规在射线OM上截取OE＝OD ．连接AD ， AE ， BE ，过点O作OF⊥AC ．垂足为F ，交AD于点G ．

下列结论：①CD＝2GF；②BD²﹣CD²＝AC²；③S_△BOE＝2S_△AOG；其中正确的结论有．（填序号）

如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝12，P为线段AB上一动点．将△BPC沿PC翻折至△EPC，延长CE交射线AD于点D．

（1）如图1，当P为AB的中点时，求出AD的长；
（2）如图2，延长PE交AD于点F，连接CF，求证：∠PCF＝45°；
（3）如图3，∠MON＝45°，在∠MON内部有一点Q，且OQ＝8，过点Q作OQ的垂线GH分别交OM、ON于G、H两点．当QG＝2时，求QH的值．

如图，在梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发以 $\text{[math]}$ 的速度向点 $\text{[math]}$ 运动，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发沿 $\text{[math]}$ 方向以 $\text{[math]}$ 的速向点 $\text{[math]}$ 运动， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点同时出发．当点 $\text{[math]}$ 到达点 $\text{[math]}$ 时，两点同时停止运动，设运动时间为 $\text{[math]}$ 秒．

（1）当 $\text{[math]}$ 等于多少时，四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ；
（2）若以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是平行四边形．求 $\text{[math]}$ 的值；
（3）当 $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 是等腰三角形？

如图，四边形 $\text{[math]}$ 是矩形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的度数；
（2）过点D作 $\text{[math]}$ ，垂足为点E，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F．请补全图形，探究线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的数量关系，并证明．

如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，AE平分∠BAD，AE与BC相交于点E，与BD相交于点F．则下列结论中正确的有（）

①OB=OE；②∠BOE=75°；③OE²=OF•OD ；④若OE=1，则EC= $\text{[math]}$ ；⑤若△BOE的面积是矩形ABCD的面积的 $\text{[math]}$ ，则BC= $\text{[math]}$ AB ．

A . 2个 B . 3个 C . 4个 D . 5个

（1）【探究·发现】正方形的对角线长与它的周长及面积之间存在一定的数量关系．已知正方形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 长为a，则正方形 $\text{[math]}$ 的周长为，面积为（都用含a的代数式表示）．
（2）【拓展·综合】如图1，若点M、N是某个正方形的两个对角顶点，则称M、N互为“正方形关联点”，这个正方形被称为M、N的“关联正方形”．
①在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，点P是原点O的“正方形关联点”．若 $\text{[math]}$ ，则O、P的“关联正方形”的周长是 ▲ ；若点P在直线 $\text{[math]}$ 上，则O、P的“关联正方形”面积的最小值是 ▲ ．

②如图2，已知点 $\text{[math]}$ ，点B在直线 $\text{[math]}$ 上，正方形 $\text{[math]}$ 是A、B的“关联正方形”，顶点P、Q到直线l的距离分别记为a和b，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿线段 $\text{[math]}$ 以每秒1个单位长度的速度向终点 $\text{[math]}$ 运动，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 与菱形 $\text{[math]}$ 重叠部分图形的面积为 $\text{[math]}$ （平方单位），点 $\text{[math]}$ 运动时间为 $\text{[math]}$ （秒）.

（1）当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时，求 $\text{[math]}$ 的值；
（2）当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 全等；
（3）求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数关系式；
（4）以线段 $\text{[math]}$ 为边，在 $\text{[math]}$ 右侧作等边三角形 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 运动路径的长.

在平面直角坐标系xOy中，对于线段MN，直线l和图形W给出如下定义：线段MN关于直线l的对称线段为M'N'（M'，N'分别是M，N的对应点）．若MN与M'N'均在图形W内部（包括边界），则称图形W为线段MN关于直线l的“对称封闭图形”．

（1）如图，点P（-1，0）．
① 已知图形W₁：半径为1的⊙O，W₂：以线段PO为边的等边三角形，W₃：以O为中心且边长为2的正方形，在W₁ ， W₂ ， W₃中，线段PO关于y轴的“对称封闭图形”是 ▲ ；
② 以O为中心的正方形ABCD的边长为4，各边与坐标轴平行．若正方形ABCD是线段PO关于直线 y = x + b的“对称封闭图形”，求b的取值范围；
（2）线段MN在由第四象限、原点、x轴正半轴以及y轴负半轴组成的区域内，且MN的长度为2．若存在点Q（ $\text{[math]}$ ），使得对于任意过点Q的直线l，有线段MN，满足半径为r的⊙O是该线段关于l的“对称封闭图形”，直接写出r的取值范围．

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