直角坐标系内两点的距离公式知识点题库

笛卡尔是法国数学家、科学家和哲学家.他的哲学与数学思想对历史的影响是深远的. $\text{[math]}$ 年，笛卡尔发表了《几何学》，创立了直角坐标系.其中笛卡尔的思想核心是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的.

小明在学习《勾股定理》时，利用平面直角坐标系在研究两点的距离时，通过数形结合发现（如图），平面内的任意两点 $\text{[math]}$ 的距离，满足.经小明查阅资料得知，以上发现是成立的.在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 叫 $\text{[math]}$ 两点的距离公式.请你根据数形结合的思想和所学知识，完成以下问题：

（1）直接写出过 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点的距离为.
（2）写出点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离为.
（3）请求 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为任意实数）的最小值.

育新实验学校八(二)班的学生从学校0点出发，要到某基地进行为期一周的校外实践活动，他们第一天的任务是进行体能训练，学生们先向正西方向行走了2km到A处，又往正南方向行走3km到B处，然后又向正东方向行走6km到C处，再向正北方向走5km才到达校外实践基地P处如图，以点O为原点，取正东方向为x轴的正方向，取正北方向为y轴的正方向，以500m为一个单位长度建立平面直角坐标系．

（1）在平面直角坐标系中，画出学生体能训练的行走路线图；
（2）分别写出A，B，C，P点的坐标；
（3） O、P两点之间的距离为

在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ 到原点的距离是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，与x轴交于另一点B.

（1）则抛物线的解析式为；
（2）点P为第四象限内抛物线上的点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设点P的横坐标为 $\text{[math]}$ .
①如图1，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；

②如图2，过点P作x轴的垂线，垂足为点D，过点C作 $\text{[math]}$ 的垂线，与射线 $\text{[math]}$ 交于点E，与x轴交于点F.连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求m的值.

平面直角坐标系中，在以（2，1）为圆心，5为半径的圆上的点的坐标是（）

A . （4，7） B . （－1，－2） C . （5，4） D . （2，－4）

如图，已知A(0，3)，B(2，1)，C(2，－3)，若点P是△ABC三边垂直平分线的交点，则点P的坐标为．

如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，拋物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是 $\text{[math]}$ .拋物线与y轴交于点 $\text{[math]}$ ，点P是拋物线的顶点，连接 $\text{[math]}$ .

（1）求拋物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标.
（2）直线 $\text{[math]}$ 与拋物线对称轴交于点D，点Q为直线 $\text{[math]}$ 上一动点.
①当 $\text{[math]}$ 的面积等于 $\text{[math]}$ 面积的2倍时，求点Q的坐标；

②在①的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线l垂直于 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交直线l于点F，点G在直线 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长.

设两个点A、B的坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则线段AB的长度为： $\text{[math]}$ .举例如下：A、B两点的坐标是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则A、B两点之间的距离 $\text{[math]}$ .请利用上述知识解决下列问题：

（1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求x的值；
（2）已知△ABC，点A为 $\text{[math]}$ 、点B为 $\text{[math]}$ 、点C为 $\text{[math]}$ ，求△ABC的面积；
（3）求代数式 $\text{[math]}$ 的最小值.

如图，在平面直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴正半轴于C，且△ABC的面积为56.点D为线段AB的中点，点E为y轴上一动点，连接DE，将线段DE绕着点E逆时针旋转90°得到线段EF，连接DF.

（1）求点C的坐标及直线BC的表达式；
（2）在点E运动的过程中，若△DEF的面积为5，求此时点E的坐标；
（3）设点E的坐标为（0，m）；
①用m表示点F的坐标；

②在点E运动的过程中，若△DEF始终在△ABC的内部（包括边界），直接写出满足条件的m的取值范围.

在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线 $\text{[math]}$ 交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴于点B，交y轴的正半轴于点C，且OB=2OC.

（1）求点B的坐标和a的值；
（2）如图1，点D，P分别在一、三象限的抛物线上，其中点P的横坐标为t，连接BP，交y轴于点E，连接CD，DE，设△CDE的面积为s，若 $\text{[math]}$ ，求点D的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，射线AE与射线FB交于点G，连接AP，若∠AGB=2∠APB，求点P的坐标.

在平面直角坐标系中有两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， A，B两点间的距离是.

在平面直角坐标系xOy中，点A，B在反比例函数y＝ $\text{[math]}$ （x＞0）的图象上，且点A与点B关于直线y＝x对称，C为AB的中点，若AB＝4，则线段OC的长为．

如图，点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上的两点，过 $\text{[math]}$ 两点分别作y轴的平行线交双曲线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）于 $\text{[math]}$ 两点. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为

在直角坐标系中，点P（2，﹣3）到原点的距离是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且对称轴l为直线 $\text{[math]}$ .

（1）求该抛物线的表达式.
（2）在对称轴l上是否存在点P，使 $\text{[math]}$ 为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ 到坐标原点的距离是（）

A . 2 B . 4 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

已知抛物线 $\text{[math]}$ .

（1）当 $\text{[math]}$ 时，求抛物线对称轴及与x轴的交点坐标；
（2） ①无论 $\text{[math]}$ 为何值，抛物线 $\text{[math]}$ 一定经过两个定点，请直接写出两个定点的坐标；
②将抛物线 $\text{[math]}$ 沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线 $\text{[math]}$ ，直接写出抛物线 $\text{[math]}$ 的解析式并求出抛物线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 两个顶点的距离；
（3）若（2）中抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点到 $\text{[math]}$ 轴的距离为2，求 $\text{[math]}$ 的值.

【发现问题】

小明在练习簿的横线上取点 $\text{[math]}$ 为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．

【提出问题】

小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．

（1）【分析问题】
小明利用已学知识和经验，以圆心 $\text{[math]}$ 为原点，过点 $\text{[math]}$ 的横线所在直线为 $\text{[math]}$ 轴，过点 $\text{[math]}$ 且垂直于横线的直线为 $\text{[math]}$ 轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为．
（2）【解决问题】
请帮助小明验证他的猜想是否成立．
（3）【深度思考】
小明继续思考：设点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为正整数，以 $\text{[math]}$ 为直径画 $\text{[math]}$ ，是否存在所描的点在 $\text{[math]}$ 上．若存在，求 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，说明理由．