题目

已知动圆过定点P(1,0),且与定直线l:x=-1相切，点C在l上.(1)求动圆圆心的轨迹M的方程；(2)设过点P，且斜率为-的直线与曲线M相交于A、B两点.①△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，请说明理由.②当△ABC为钝角三角形，求这时点C的纵坐标的取值范围. 答案：解：(1)设M(x,y),依题意知|MP|=|MN|,     则|x+1|=,化简得y2=4x.(2)①由题意知直线AB的方程为y=-(x-1).    由消去y得3x2-10x+3=0.解得x1=,x2=3.    所以A点的坐标为(,),B点的坐标为(3,-2),|AB|=|x1-x2|=2×(3-)=.    假设存在点C(-1,y),使△ABC为正三角形，    则|BC|=|AB|,|AC|=|AB|，    即（1）-（2）解得y=-.但y=-,不符合①,    故（1）（2）组成的方程组无解，因此l上不存在点C使△ABC为正三角形.②设C(-1,y)使△ABC为钝角三角形，    由得y=2.    即当点C(-1,2)时，A、B、C三点共线.    故y≠2.    又|AC|2=(1+)2+(y-)2=y2-,|BC|2=(3+1)2+(y+2)2=y2+4y+28,|AB|2=()2=.    当∠CAB为钝角时，cosA=＜0,    即|BC|2＞|AC|2+|AB|2,28+4y+y2＞y+y2+.    解得y＞时，∠CAB为钝角.    同理,由|AC|2＞|BC|2+|AB|2,    即+y2＞28+4y+y2+.    解得y＜-时，∠CBA为钝角.    由|AB|2＞|AC|2+|BC|2,    即＞y+y2+28+4y+y2,    即(y+)2＜0无解.    故∠ACB不可能为钝角.    综上，y＞或y＜-,且y≠2.

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