题目

（本小题16分） 已知函数且    （I）试用含的代数式表示；    （Ⅱ）求的单调区间；  （Ⅲ）令，设函数在处取得极值，记点，证明：线段与曲线存在异于、的公共点． 答案：（本小题16分） 已知函数且    （I）试用含的代数式表示；    （Ⅱ）求的单调区间；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m                     （Ⅲ）令，设函数在处取得极值，记点，证明：线段与曲线存在异于、的公共点； 解法一: 依题意,得 ,--------------------------------------------------2分 故.------------------------------------------------------------------------------------4分  由得, 故, 令,则或,--------------------------------------------------6分 当时, , 当变化时, 与 的变化如下表: (,) (,) (, ) + - + 单调递增 单调递减 单调递增 由此得,函数的单调增区间为(,)和(, ),单调减区间为(,). 当时, .此时恒成立,且仅在处,故函数的单调增区间为. 当时, ,同理可得函数的单调增区间为和,单调减区间为.--------------------------------------------------9分 综上:当时,函数的单调增区间为(,)和(, ),单调减区间为(,);当时,函数的单调增区间为; 当时,函数的单调增区间为和,单调减区间为.-------------------------------10分 (Ⅲ)当时,得 由,得,. 由(Ⅱ)得单调区间为和,单调减区间为,所以函数在,处取得极值; 故，.------------------------------------------------------------12分 所以直线的方程为， 由，得-------------------------------14分 令. 易得，.而的图像在内是一条连续不断的曲线，故在内存在零点，这表明线段与曲线存在异于、的公共点. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------16分 解法二: (I)同解法一 (II)同解法一 (Ⅲ) 当时,得,由,得,. 由(Ⅱ)得单调区间为和,单调减区间为,所以函数在,处取得极值; 故，.------------------------------------------------------------12分 所以直线的方程为， 由，得-------------------------------14分 解得:, , . ∴, , . 所以线段与曲线存在异于、的公共点.--------------16分

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