题目

定义满足性质“ ，对任意 ， ， 均满足 ，当且仅当 时等号成立．”的函数叫M函数． （I）下列函数（1） ；（2） ；（3） ；（4） 是M函数是_________（直接写出序号） （II）选择（I）中一个M函数，加以证明； （III）试利用M函数解决下列问题：若实数 ， 满足 ，求 的最大值． 答案：解：（I）（II）对（1）， g(x)=−x2 ， 则任取 x，y∈R ， g(x+y2)=−(x+y2)2 ， g(x)+g(y)2=−x2+(−y2)2 ， 则 g(x+y2)−g(x)+g(y)2=−(x+y2)2−−x2+(−y2)2=−2xy+x2+y24=(x−y)22⩾0 ， 当且仅当 x=y 取等号，所以 g(x+y2)≥g(x)+g(y)2 ，故 g(x) 是 M 函数； 对（2）， m(x)=x2 ， 当 x=0，y=2 时， m(x+y2)=m(1)=1 ， m(x)+m(y)2=m(0)+m(2)2=0+42=2 ， 此时 m(x+y2)<m(x)+m(y)2 ，故 m(x) 不是 M 函数； 对（3）， h(x)=ex ， 当 x=0，y=2 时， h(x+y2)=h(1)=e ， h(x)+h(y)2=h(0)+h(2)2=1+e22 ， 此时 h(x+y2)<h(x)+h(y)2 ，故 h(x) 不是 M 函数； 对（4）， g(x)=log2x ， 任取 x，y∈(0，+∞) ，则 g(x+y2)=log2x+y2 ， g(x)+g(y)2=log2x+log2y2=log2xy ， 因为 x+y2⩾xy ，当且仅当 x=y 时取等号，所以 log2x+y2⩾log2xy ， 所以 g(x+y2)≥g(x)+g(y)2 ，故 g(x) 是M函数； （III）利用 g(x)=log2x ， 设 x=2m，y=2n ，则 m=log2x，n=log2y ， 由（I）可知 log2x+y2⩾log2xy ，当且仅当 x=y 时取等号， 所以 log212⩾12(m+n) ，即 m+n⩽−2 ，当且仅当m=n时取等号 所以m+n的最大值为-2.

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