题目

设A，B为函数y＝f(x)图象上相异两点，且点A，B的横坐标互为倒数，过点A，B分别作函数y＝f(x)的切线，若这两条切线存在交点，则称这个交点为函数f(x)的“优点”． (1) 若函数f(x)＝不存在“优点”，求实数a的值； (2) 求函数f(x)＝x2的“优点”的横坐标的取值范围； (3) 求证：函数f(x)＝ln x的“优点”一定落在第一象限． 答案： (1) 由题意可知，f′(x)＝f′对x∈(0，1)∪(1，＋∞)恒成立， 不妨取x∈(0，1)，则f′(x)＝＝＝f′恒成立，即a＝， 经验证，a＝符合题意． (2) 设A(t，t2)，B(t≠0且t≠±1)， 因为f′(x)＝2x， 所以A，B两点处的切线方程分别为y＝2tx－t2，y＝x－， 令2tx－t2＝x－，解得x＝∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 所以“优点”的横坐标取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． (3) 设A(t，ln t)，b，t∈(0，1)， 因为f′(x)＝， 所以A，B两点处的切线方程分别为y＝x＋ln t－1，y＝tx－ln t－1， 令x＋ln t－1＝tx－ln t－1， 解得x＝>0， 所以 设 则 所以h(m)单调递增， 所以h(m)<h(1)＝0， 即 因为， 所以y＝·＋ln t－1>0， 所以“优点”的横坐标和纵坐标均为正数，在第一象限．  

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