直线与圆锥曲线的综合问题知识点题库

已知 $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 的两个顶点，点 $\text{[math]}$ 是双曲线上异于 $\text{[math]}$ 的一点，连接 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为坐标原点）交椭圆 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，如果设直线 $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，假设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . 2 D . 4

已知椭圆C： $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）的短轴长为6，其离心率为 $\text{[math]}$ ．若l₁ ， l₂是椭圆C的两条相互垂直的切线，l₁ ， l₂的交点为点P．

（1）求椭圆C的方程；
（2）记点P的轨迹为C′，设l₁ ， l₂与轨迹C′的异于点P的另一个交点分别为M，N，求△PMN的面积的取值范围．

已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，右顶点为 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于不同的两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 作垂直于 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于不同的两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ．

（Ⅰ）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

（Ⅱ）设原点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

在直角坐标系中， $\text{[math]}$ 是过点 $\text{[math]}$ 且倾斜角为 $\text{[math]}$ 的直线.以坐标原点 $\text{[math]}$ 为极点，以 $\text{[math]}$ 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ .

（1）求直线 $\text{[math]}$ 的参数方程与曲线 $\text{[math]}$ 的直角坐标方程；
（2）若直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 交于两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .

已知面积为 $\text{[math]}$ 的等腰 $\text{[math]}$ 内接于抛物线 $\text{[math]}$ ，O为坐标原点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为抛物线的焦点，点 $\text{[math]}$ .若M是抛物线上的动点，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，点 $\text{[math]}$ 分别为椭圆 $\text{[math]}$ 的左､右顶点和右焦点，过点F的直线交椭圆C于点 $\text{[math]}$ .

（1）若 $\text{[math]}$ ，点F与椭圆 $\text{[math]}$ 左准线的距离为5，求椭圆C的方程；
（2）已知直线 $\text{[math]}$ 的斜率是直线MA斜率的 $\text{[math]}$ 倍.
①求椭圆C的离心率；

②若椭圆C的焦距为2，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值.

已知圆 $\text{[math]}$ ，动圆 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相外切，且与直线 $\text{[math]}$ 相切.

（1）求动圆圆心 $\text{[math]}$ 的轨迹 $\text{[math]}$ 的方程.
（2）已知点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 交于两个不同的点 $\text{[math]}$ （与 $\text{[math]}$ 点不重合），直线 $\text{[math]}$ 的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.

已知椭圆 $\text{[math]}$ 的焦点在 $\text{[math]}$ 轴上，左顶点为 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
（2）斜率为1的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，求 $\text{[math]}$ 的最大值.

已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ .

（1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的方程；
（2）过焦点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，以 $\text{[math]}$ 为圆心的圆与直线 $\text{[math]}$ 相切于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 中点.点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的准线上运动.
①若 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴对称，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积；

②求四边形 $\text{[math]}$ 面积的取值范围.

已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左右焦点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为短轴的一个端点，离心率为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ .

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
（2）设 $\text{[math]}$ 是椭圆上的一点， $\text{[math]}$ 是点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴的对称点， $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 上异于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的任意一点，且直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别于 $\text{[math]}$ 轴交于不同的点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为坐标原点，求 $\text{[math]}$ 的最大值，并求出此时 $\text{[math]}$ 点的坐标

已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与以原点为圆心，椭圆 $\text{[math]}$ 的短半轴长为半径的圆相切.

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
（2）设 $\text{[math]}$ 是椭圆的上顶点，过点 $\text{[math]}$ 分别作直线 $\text{[math]}$ 交椭圆于 $\text{[math]}$ 两点，设两直线的斜率分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，证明直线 $\text{[math]}$ 过定点，并求出此定点的坐标.

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 的参数方程式 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数），以 $\text{[math]}$ 为极点， $\text{[math]}$ 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ，且直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点.

（1）求直线 $\text{[math]}$ 的普通方程及曲线 $\text{[math]}$ 的直角坐标方程；
（2）把直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点记为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

如图， $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 内一个定点， $\text{[math]}$ 是圆上任意一点.线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线和半径 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ .

（Ⅰ）当点 $\text{[math]}$ 在圆上运动时，点 $\text{[math]}$ 的轨迹 $\text{[math]}$ 是什么曲线？并求出其轨迹方程；

（Ⅱ）过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 关于原点 $\text{[math]}$ 的对称点为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ 的最大值.

已知椭圆 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 上.

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程.
（2）设动直线 $\text{[math]}$ 过椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点 $\text{[math]}$ ，且与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点.在 $\text{[math]}$ 轴上是否存在定点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 恒成立.若存在，求点 $\text{[math]}$ 的坐标.若不存在，请说明理由.

以直线 $\text{[math]}$ 与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

已知椭圆 $\text{[math]}$ 的四个顶点围成的四边形的面积为 $\text{[math]}$ ，椭圆C的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ，若直线l与C有且只有一个公共点P，且点P不在x轴上，过点 $\text{[math]}$ 作l的垂线，垂足为Q，

（1）求椭圆C的方程；
（2）求 $\text{[math]}$ 面积的最大值．

椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为1．

（1）求椭圆的方程；
（2）若与坐标轴不垂直且不过原点的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆相交于不同的两点A，B，过AB的中点M作垂直于 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 与椭圆相交于不同的两点C，D，且 $\text{[math]}$ ．设原点O到直线 $\text{[math]}$ 的距离为d，求 $\text{[math]}$ 的最大值．