题目

已知椭圆 ： ，右顶点为 ，离心率为 ，直线 ： 与椭圆 相交于不同的两点 ， ，过 的中点 作垂直于 的直线 ，设 与椭圆 相交于不同的两点 ， ，且 的中点为 ．（Ⅰ）求椭圆 的方程；（Ⅱ）设原点 到直线 的距离为 ，求 的取值范围． 答案：解：（Ⅰ） {a=2，ca=32， 得 x24+y2=1 ．（Ⅱ）由 {x24+y2=1，y=kx+m， 得 (1+4k2)x2+8kmx+4m2−4=0 ，设 A(x1,y1) ， B(x2,y2) ，则 {x1+x2=−8mk1+4k2，x1x2=4m2−41+4k2.故 M(−4mk1+4k2,m1+4k2) ．l2 : y−m1+4k2=−1k(x−4mk1+4k2) ，即 y=−1kx−3m1+4k2 ．由 {y=−1kx−3m1+4k2，x24+y2=1， 得 (1+4k2)x2+24mk(1+4k2)x+36m2(1+4k2)2−4=0 ，设 C(x3,y3) ， D(x4,y4) ,则 x3+x4=−24mk(1+4k2)(k2+4) ，故 N(−12mk(1+4k2)(k2+4),−3mk2(1+4k2)(k2+4)) ．故 |MN|=|xM−xN|1+1k2 = 4|m|(k2+1)k2+1(1+4k2)(k2+4) ．又 d=|m|1+k2 ．所以 |MN|d = 4(k2+1)2(1+4k2)(k2+4) ． 令 t=k2+1(t>1) ，则 |MN|d = 4t24t2+9t−9=4−9t2+9t+4=4−9(1t−12)2+254 ∈[1625,1) ．

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