题目

已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的短轴长为6，其离心率为 ．若l1 ， l2是椭圆C的两条相互垂直的切线，l1 ， l2的交点为点P． （1） 求椭圆C的方程； （2） 记点P的轨迹为C′，设l1 ， l2与轨迹C′的异于点P的另一个交点分别为M，N，求△PMN的面积的取值范围． 答案： 解：因为椭圆C： x2a2+y2b2 =1（a＞b＞0）的短轴长为6，所以2b=6，所以b=3，因为离心率为 74 ，所以1﹣ 9a2 = 716 ，所以a=4，所以椭圆C的方程为 x216+y29=1 解：①若直线l1的斜率存在且不为零时，设为k，设P（x0，y0），则直线l1的方程为y﹣y0=k（x﹣x0）．即y=kx+y0﹣kx0，令m=y0﹣kx0．代入椭圆方程可得（16k2+9）x2+32kmx+16m2﹣144=0．直线l1是椭圆的切线，所以△=0，所以m2=16k2+9，坐标原点O到直线l1的距离d1= |m|1+k2 ，所以d12= 16k2+91+k2 ．设坐标原点O到直线l1的距离为d2，同理可得d22= 9k2+161+k2 ．所以|OP|2=d12+d22=25．②若直线l1的斜率不存在或为零时，容易验证|OP|2=d12+d22=25，所以P的轨迹C′是圆x2+y2=25S△PMN= 12 |PM||PN|=2d1d2．若直线l1的斜率存在且不为零时，d12= 16k2+91+k2 ，则d1∈（3，4）；若直线l1的斜率为零，则d1=3；若直线l1的斜率不存在，则d1=4．所以d1∈[3，4]．S△PMN= 12 |PM||PN|=2d1d2=2 d12(25−d12) ，令t= d12 ，则t∈[9，16]．所以S△PMN=2 t(25−t) ∈[24，25]．所以△PMN的面积的取值范围为[24，25]

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