题目

已知点F为抛物线的焦点，点在抛物线C上，且 ， 直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点． （1） 求抛物线C的方程； （2） 若直线交抛物线C于M，N两点，直线AM与BN交于点T，求证：点T在定直线上． 答案： 解：由x2=2py(p>0)可知，抛物线C的准线为：y=−p2，∴点E(x0，2)到准线的距离为2+p2，根据抛物线定义：|EF|=2+p2=4，p=4，∴抛物线C的方程为x2=8y； 解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x4，y4)，T(x0，y0)，TM→=λTA→(λ≠1)．∵AB∥MN，∴TN→=λTB→，由x12=8y1，x22=8y2，得x12−x22=8(y1−y2)，即x1+x2=8(y1−y2)x1−x2=4，同理x3+x4=4，由TM→=λTA→得x3−x0=λ(x1−x0)…①，由TN→=λTB→得x4−x0=λ(x2−x0)…②，①②两式相加得x3+x4−2x0=λ(x1+x2−2x0)，即(x0−2)(λ−1)=0，∵λ≠1，∴x0=2，∴点T在定直线x=2上．综上，抛物线C的方程为x2=8y.

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