题目

如图，点 分别为椭圆 的左､右顶点和右焦点，过点F的直线交椭圆C于点 . （1） 若 ，点F与椭圆 左准线的距离为5，求椭圆C的方程； （2） 已知直线 的斜率是直线MA斜率的 倍. ①求椭圆C的离心率； ②若椭圆C的焦距为2，求 面积的最大值. 答案： 解：∵ AF=3 ，点F与椭圆C左准线的距离为5， ∴ {a+c=3,c+a2c=5,c=a2−b2, 解得 {a=2,b=3, ∴椭圆C的方程为 x24+y23=1 . 解：①法一：显然 A(−a,0) ， B(a,0) ， F(c,0) ，设 M(x1,y1) ， N(x2,y2) ， 则∵点 M 在椭圆 C 上，∴ y12=b2(1−x12a2)=−b2a2(x12−a2) ， ∴ kMA⋅kMB=y1x1+a⋅y1x1−a=y12x12−a2=−b2a2 (i)， 设直线 MN:x=my+c ， 与椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 联立方程组消去x得： (a2+m2b2)y2+2cmb2y−b4=0 ，其两根为 y1,y2 ， ∴ {y1+y2=−2cmb2a2+m2b2,y1y2=−b4a2+m2b2, (*) ∴ kBM⋅kBN=y1x1−a⋅y2x2−a=y1my1+c−a⋅y2my2+c−a =y1y2m2y1y2+m(c−a)(y1+y2)+(c−a)2 ， 将(*)代入上式化简得： kBM⋅kBN=−b4a2(a−c)2 (ii) 又 2kMA=kBN （iii） 由（i）（ii）（iii）得： −2b2a2=−b4a2(a−c)2 ， ∴ a2−4ac+3c2=0 ，即 3e2−4e+1=0 ，解得 e=13 或 e=1 ， 又 0<e<1 ，∴ e=13 ，即椭圆 C 的离心率为 13 . 法二：显然 A(−a,0) ， B(a,0) ， F(c,0) ， ∵ 2kMA=kBN ，∴设直线 MA 的方程为 y=k(x+a) ，直线 NB 的方程为 y=2k(x−a) . 由 {y=k(x+a),x2a2+y2b2=1 得 (a2k2+b2)x+2a3k2x+(a4k2−a2b2)=0 ， 注意到其一根为 x=−a ，∴另一根为 x=a3k2−ab2a2k2+b2 ， ∴ y=k(−a3k2−ab2a2k2+b2+a)=2kab2a2k2+b2 ，即 M(−a3−2k2a2+k2) ， 同理由 {y=2k(x−a),x2a2+y2b2=1 得 N(4a3k2−ab24a2k2+b2,−4kab24a2k2+b2) . 由 M,N,F 三点共线得 FM→∥FN→ ， ∴ (−a3k2−ab2a2k2+b2−c)(−4kab24a2k2+b2)−(4a3−ab24a2k2+b2−c)2kab2a2k2+b2=0 ， 化简得： (a−3c)(2a2k2+b2)=0 ，∴ a=3c ， ∴ e=ca=13 ，即椭圆 C 的离心率为 13 . ②由① a=3c ，又椭圆 C 的焦距为 2 ，∴ c=1 ，∴ a=3 ，∴ b2=a2−c2=8 ， 由①方法一得 {y1+y2=−16m9+8m2,y1y2=−649+m2, ∴ △AMN 面积 S=12|AF||y1−y2|=12×4(y1+y2)2−4y1y2 =96m2+19+8m2 ， m∈R 令 t=m2+1 ， m∈R ，则 S=96t1+8t2 ， t≥1 ， ∵ S′=96(1−8t2)(1+8t2)2<0 ，∴ S=96t1+8t2 在 [1,+∞) 为减函数， ∴ t=1 ，即 m=0 时， Smax=323 ，即 △AMN 面积的最大值为 323 .

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