题目

已知抛物线 的焦点为 ，点 到 的距离为 . （1） 求抛物线 的方程； （2） 过焦点 的直线 与 交于 、 两点，以 为圆心的圆与直线 相切于点 ，点 为线段 中点.点 在 的准线上运动. ①若 ，且点 、 关于 轴对称，求四边形 的面积； ②求四边形 面积的取值范围. 答案： 解：易知点 T 在抛物线 C 上，且抛物线 C 的准线方程为 x=−p2 ， 由抛物线的定义可得 |TF|=1+p2=32 ，解得 p=1 ， 因此，抛物线 C 的方程为 y2=2x ； 解：设点 A(x1,y1) 、 B(x2,y2) ，易知抛物线 C 的焦点为 F(12,0) ，准线为 x=−12 . ①若 n=0 ，且点 A 、 B 关于 x 轴对称，则 x1=x2=12 ， |AB|=x1+x2+1=2 ，点 D(−12,0) ， 四边形 DABE 的面积为 S=12|AB|⋅|DE|=12×2×3=3 ； ②如下图所示： 若直线 AB 与 x 轴重合，则直线 AB 与抛物线 C 只有一个交点，不合乎题意. 若直线 AB⊥x 轴，由①可知，四边形 DAEB 的面积为 3 . 若直线 AB 不与坐标轴垂直时，设直线 AB 的方程为 x=ty+12 ， 联立 {x=ty+12y2=2x ，消去 x 并整理得 y2−2ty−1=0 ， Δ=4t2+4>0 ， 由韦达定理可得 y1+y2=2t ， y1y2=−1 ， 设点 M(x0,y0) ，则 y0=y1+y22=t ， x0=ty0+12=t2+12 ，即点 M(t2+12,t) ， ∵ME⊥AB ，且 kEM=tt2−2 ， kAB=1t ， kEM⋅kAB=1t2−2=−1 ，解得 t=±1 . 不妨设 t=1 ，则直线 AB 的方程为 x=y+12 ， |AB|=x1+x2+1=y1+y2+2=4 ， |ME|=(32−52)2+12=2 ， S△ABE=12|AB|⋅|ME|=12×4×2=22 ， 点 D(−12,n) 到直线 l:x−y−12=0 的距离 d=|−12−n−12|2=|n+1|2 ， ∵−1<n<1 ，则 d=|n+1|2=n+12 ， S△ABD=12|AB|⋅d=12×4×n+12=2(n+1)∈(0,22) ， 因此，四边形 DAEB 的面积 S=S△ABE+S△ABD∈(22,42) . 综上所述，四边形 DAEB 面积的取值范围是 (22,42) .

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