题目

已知椭圆 的焦点在 轴上，左顶点为 ，离心率为 （1） 求椭圆 的方程； （2） 斜率为1的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，求 的最大值. 答案： 解：设椭圆 C 的方程为 x2a2+y2b2=1(a>b>0) ． 由题意得 {a=2ca=32 解得 c=3 ， 所以 b2=a2−c2=1 ， 所以椭圆 C 的方程为 x24+y2=1 ； 解：设 P ， Q 两点的坐标分别为 (x1,y1) ， (x2,y2) ，直线 l 的方程为 y=x+t ， 由 {x2+4y2=4y=x+t 消去 y ，得 5x2+8tx+4(t2−1)=0 ， 则 x1+x2=−85t ， x1x2=4(t2−1)5 ， Δ>0 ，得 0≤t2<5 ， 所以 |PQ|=1+k2|x1−x2| =1+k2⋅(x1+x2)2−4x1x2 =2⋅(−85t)2−4×4(t2−1)5   =425⋅5−t2 因为 0≤t2<5 ，所以当 t=0 时， |PQ|max=4105 .

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