题目

已知椭圆 的离心率为 ，直线 与以原点为圆心，椭圆 的短半轴长为半径的圆相切. （1） 求椭圆 的方程； （2） 设 是椭圆的上顶点，过点 分别作直线 交椭圆于 两点，设两直线的斜率分别为 ，且 ，证明直线 过定点，并求出此定点的坐标. 答案： 由条件可知： l：x−y+2=0 与圆 x2+y2=b2 相切，所以 b=|2|1+1=1 ， 又因为 c=22=ca=a2−1a2 ，所以 a2=2 ， 所以椭圆 C 的方程为： x22+y2=1 ； 由题意可知： M(0，1) ，当 AB 的斜率存在时，设 lAB：y=kx+m ， A(x1，y1)，B(x2，y2) ， 因为 {y=kx+mx2+2y2=2 ，所以 (1+2k2)x2+4kmx+2m2−2=0 ，所以 x1+x2=−4km1+2k2，x1x2=2m2−21+2k2 ， 又因为 k1+k2=4 ，所以 y1−1x1+y2−1x2=4 ，所以 kx1+m−1x1+kx2+m−1x2=4 ， 所以 2kx1x2+(m−1)(x1+x2)=4x1x2 ，所以 (2k−4)⋅2m2−21+2k2=(m−1)⋅4km1+2k2 ， 所以 (m2−1)(k−2)=(m−1)km ，又因为 lAB 不经过 M(0，1) ，所以 m≠1 ， 所以 (m+1)(k−2)=km ，所以 m=k2−1 ，所以 lAB：y=k(x+12)−1 ，所以直线 AB 过定点 (−12，−1) ； 当直线 AB 的斜率不存在时，设 lAB：x=t ，代入 x22+y2=1 可得 y=±1−t22 ， 因为 k1+k2=4 ，所以 −1−t22−1t+1−t22−1t=4 ，所以 t=−12 ，此时 lAB：x=−12 也经过点 (−12，−1) ， 综上可知：直线 AB 过定点，定点坐标为 (−12，−1) .

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