题目

已知椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为 ， 椭圆C的左、右焦点分别为 ， 且到直线的距离为 ， 若直线l与C有且只有一个公共点P，且点P不在x轴上，过点作l的垂线，垂足为Q， （1） 求椭圆C的方程； （2） 求面积的最大值． 答案： 解：由四个顶点围成的四边形的面积为43可得：2ab=43，由F1到直线bx−cy=0的距离为32c可得：bcb2+c2=32c，结合a2=b2+c2可得：a=2，b=3，c=1，故椭圆方程为：x24+y23=1. 解：根据题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=kx+m，联立椭圆方程可得：(3+4k2)x2+8kmx+4m2−12=0，因为直线l与椭圆只有一个交点，故Δ=64k2m2−4(3+4k2)(4m2−12)=0，整理得：m2−4k2=3.又因为F1Q与直线l垂直，故当F1Q斜率不存在时，已知点|F1Q|=3，故△QF1F2的面积S=12|F1F2|×|yQ|=3；当其直线斜率存在时，斜率为−1k，又其过点F1(−1，0)，故直线F1Q的方程为：y=−1k(x+1)，联立y=kx+m可得：x=−km+1k2+1，y=m−kk2+1，故点Q的坐标为(−km+1k2+1，m−kk2+1)，此时有x2+y2=k2m2+2km+1+m2+k2−2km(k2+1)2=4(k4+2k2+1)(k2+1)2=4，故点Q的轨迹是以以原点为圆心，半径为2的圆，则|yQ|≤2，故△QF1F2的面积S=12|F1F2|×|yQ|≤2；综上所述，△QF1F2面积的最大值为2.

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