线性回归方程知识点题库

一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表

学生	A1	A2	A3	A4	A5
数学	89	91	93	95	97
物理	87	89	89	92	93

（1）要在这五名学生中选2名参加一项活动，求选中的同学中至少有一人的物理成绩高于90分的概率．

（2）请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图，并求出这些数据的线性回归直线方程．

参考公式回归直线的方程是：y=bx+a，

其中对应的回归估计值．b= $\text{[math]}$ ， a= $\text{[math]}$ ﹣b $\text{[math]}$ ．

为了解心肺疾病是否与年龄相关，现随机抽取80名市民，得到数据如下表：

	患心肺疾病	不患心肺疾病	合计
大于40岁	16
小于或等于40岁		12
合计			80

已知在全部的80人中随机抽取1人，抽到不患心肺疾病的概率为 $\text{[math]}$

下面的临界值表供参考：

P（K²≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（参考公式：K²= $\text{[math]}$ ，其中n=a+b+c+d）

（1）请将2×2列联表补充完整；
（2）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为患心肺疾病与年龄有关？

某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如表：

商店名称	A	B	C	D	E
销售额x/千万元	3	5	6	7	9
利润额y/百万元	2	3	3	4	5

（1）画出销售额和利润额的散点图；
（2）若销售额和利润额具有相关关系，用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程；
（3）据（2）的结果估计当销售额为1亿元时的利润额．

某单位在月份用电量（单位：千度）的数据如表：

月份x	2	3	5	6
用电量	3	4.5	5.5	7

已知用电量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其回归方程 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ x+1，由此可预测7月份用电量（单位：千度）约为（）

A . 6 B . 7 C . 8 D . 9

某印刷厂为了研究印刷单册书籍的成本y（单位：元）与印刷册数x（单位：千册）之间的关系，在印制某种书籍时进行了统计，相关数据见下表．

印刷册数x（千册）	2	3	4	5	8
单册成本y（元）	3.2	2.4	2	1.9	1.7

根据以上数据，技术人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到了两个回归方程，方程甲： $\text{[math]}$ ^（¹^）= $\text{[math]}$ +1.1，方程乙： $\text{[math]}$ ^（²^）= $\text{[math]}$ +1.6．

（Ⅰ）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务．

（i）完成下表（计算结果精确到0.1）；

印刷册数x（千册）		2	3	4	5	8
单册成本y（元）		3.2	2.4	2	1.9	1.7
模型甲	估计值 $\text{[math]}$ ^（¹^）		2.4	2.1		1.6
模型甲	残值 $\text{[math]}$ ^（¹^）		0	﹣0.1		0.1
模型乙	估计值 $\text{[math]}$ ^（²^）		2.3	2	1.9
模型乙	残值 $\text{[math]}$ ^（²^）		0.1	0	0

（ii）分别计算模型甲与模型乙的残差平方和Q₁和Q₂ ，并通过比较Q₁ ， Q₂的大小，判断哪个模型拟合效果更好．

（Ⅱ）该书上市之后，受到广大读者热烈欢迎，不久便全部售罄，于是印刷厂决定进行二次印刷．根据市场调查，新需求量为10千册，若印刷厂以每册5元的价格将书籍出售给订货商，试估计印刷厂二次印刷获得的利润．（按（Ⅰ）中拟合效果较好的模型计算印刷单册书的成本）

设某大学的女生体重 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）与身高 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）具有线性相关关系，根据一组样本数据 $\text{[math]}$ ，用最小二乘法建立的回归方程为 $\text{[math]}$ ，则下列结论中不正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 具有正的线性相关关系 B . 回归直线过样本点的中心 $\text{[math]}$ C . 若该大学某女生身高增加 $\text{[math]}$ ，则其体重约增加 $\text{[math]}$ D . 若该大学某女生身高为 $\text{[math]}$ ，则可断定其体重必为 $\text{[math]}$

在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在 $\text{[math]}$ 市 $\text{[math]}$ 区开设分店，为了确定在该区设分店的个数，该公司对该市开设分店的其他区的数据做了初步处理后得到下列表格.记 $\text{[math]}$ 表示在各区开设分店的个数， $\text{[math]}$ 表示这 $\text{[math]}$ 个分店的年收入之和.

X（个）	2	3	4	5	6
Y（百万元）	2.5	3	4	4.5	6

参考公式：回归直线方程为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的关系，求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的线性回归方程；
（2）假设该公司在 $\text{[math]}$ 区获得的总年利润 $\text{[math]}$ (单位：百万元)与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的关系为 $\text{[math]}$ ，请结合(1)中的线性回归方程，估算该公司在 $\text{[math]}$ 区开设多少个分店时，才能使 $\text{[math]}$ 区平均每个分店的年利润最大？

随着科技的发展，网购已经逐渐融入了人们的生活，在家里不用出门就可以买到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，所以选择网购的人数在逐年增加.某网店统计了2014年一2018年五年来在该网店的购买人数 $\text{[math]}$ （单位：人）各年份的数据如下表：

年份（ $\text{[math]}$ ）	1	2	3	4	5
$\text{[math]}$	24	27	41	64	79

（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合 $\text{[math]}$ 与时间 $\text{[math]}$ （单位：年）的关系，请通过计算相关系数 $\text{[math]}$ 加以说明，（若 $\text{[math]}$ ，则该线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
附：相关系数公式 $\text{[math]}$

参考数据 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

（2）该网店为了更好的设计2019年的“双十一”网购活动安排，统计了2018年“双十一”期间8个不同地区的网购顾客用于网购的时间x（单位：小时）作为样本，得到下表

地区	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
时间	0.9	1.6	1.4	2.5	2.6	2.4	3.1	1.5

①求该样本数据的平均数 $\text{[math]}$ ；

②通过大量数据统计发现，该活动期间网购时间 $\text{[math]}$ 近似服从正态分布 $\text{[math]}$ ，如果预计2019年“双十一”期间的网购人数大约为50000人，估计网购时间 $\text{[math]}$ 的人数.

（附：若随机变量 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量 $\text{[math]}$ （吨）与相应的生产能耗 $\text{[math]}$ （吨）的几组对应数据：根据上表提供的数据，求得 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的线性回归方程为 $\text{[math]}$ ，那么表中 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 3 B . 3.15 C . 3.5 D . 4.5

某市春节期间7家超市的广告费支出 $\text{[math]}$ （万元）和销售额 $\text{[math]}$ （万元）数据如下：

超市	A	B	C	D	E	F	G
广告费支出 $\text{[math]}$	1	2	4	6	11	13	19
销售额 $\text{[math]}$	19	32	40	44	52	53	54

参数数据及公式： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）若用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程；
（2）用对数回归模型拟合y与x的关系，可得回归方程： $\text{[math]}$ ，经计算得出线性回归模型和对数模型的 $\text{[math]}$ 分别约为0.75和0.97，请用 $\text{[math]}$ 说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测A超市广告费支出为8万元时的销售额.

下列说法中正确的是（）

A . 对具有线性相关关系的变量 $\text{[math]}$ 有一组观测数据 $\text{[math]}$ ，其线性回归方程是 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的值是 $\text{[math]}$ B . 正态分布 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 上取值的概率相等 C . 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数 $\text{[math]}$ 的值越接近于1 D . 若一组数据 $\text{[math]}$ 的平均数是2，则这组数据的众数和中位数都是2

某种设备随着使用年限的增加，每年的维护费相应增加.现对一批该设备进行调查，得到这批设备自购入使用之日起，前5年平均每台设备每年的维护费用大致如表：

年份 $\text{[math]}$ （年）	1	2	3	4	5
维护费 $\text{[math]}$ （万元）	1.1	1.6	2	$\text{[math]}$	2.8

参考公式：用最小二乘法求线性回归方程 $\text{[math]}$ 的系数公式：

$\text{[math]}$

已知 $\text{[math]}$ .

（I）求表格中 $\text{[math]}$ 的值；

（II）从这5年中随机抽取两年，求平均每台设备每年的维护费用至少有1年多于2万元的概率；

（Ⅲ）求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的线性回归方程；并据此预测第几年开始平均每台设备每年的维护费用超过5万元.

对具有线性相关关系的变量 $\text{[math]}$ ，测得一组数据如下表：

x	2	4	5	6	8
y	20	40	60	70	80

根据上表，利用最小二乘法得它们的回归方程为 $\text{[math]}$ ，据此模型来预测当 $\text{[math]}$ 时，y的估计值为（）

A . 210 B . 210.5 C . 211 D . 211.5

下列命题正确的是（）

A . 已知随机变量X服从正态分布 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 以模型 $\text{[math]}$ 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 $\text{[math]}$ ，将其变换后得到线性方程 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

中药藿香产业化种植已经成为某贫困山区农民脱贫攻坚的重要产业之一，藿香在环境温度为15~28℃时生长旺盛，环境温度高于28℃或低于15℃时生长缓慢或停止．藿香的株高 $\text{[math]}$ （单位：cm）与生长期内环境温度 $\text{[math]}$ （单位：℃）中的 $\text{[math]}$ 有关，现收集了13组藿香生长期内环境温度中的 $\text{[math]}$ 和株高 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ，2，…，13）观测数据，得到如图所示的 $\text{[math]}$ 散点图．

根据散点图判断，可以利用模型 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 建立 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的回归方程，令 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，统计处理得到一些数据： $\text{[math]}$ 的线性相关系数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的线性相关系数 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．用线性相关系数说明上面的两种模型哪种适宜作为 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的回归方程，并求这种模型的回归方程，由此预测这种中药藿香在生长期内的环境温度为20℃时的株高（株高精确到1）．

附：对于一组数据 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ，2，3，…， $\text{[math]}$ ），其回归直线 $\text{[math]}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

某公交公司推出扫码支付乘车优惠活动，活动为期两周，活动的前五天数据如下表：

第 $\text{[math]}$ 天	1	2	3	4	5
使用人数( $\text{[math]}$ )	15	173	457	842	1333

由表中数据可得y关于x的回归方程为 $\text{[math]}$ ，则据此回归模型相应于点（2，173）的残差为（）

A . -5 B . -6 C . 3 D . 2

对两个变量 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 进行回归分析，得到一组样本数据： $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则下列说法中不正确的是（）

A . 由样本数据得到的回归方程 $\text{[math]}$ 必过样本中心 $\text{[math]}$ B . 残差平方和越大的模型，拟合的效果越好 C . 用相关指数 $\text{[math]}$ 来刻画回归效果， $\text{[math]}$ 越大，说明模型的拟合效果越好 D . 若变量 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间的相关系数为 $\text{[math]}$ ，则变量 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间具有线性相关关系

由点列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…， $\text{[math]}$ 得到线性回归方程 $\text{[math]}$ ，对应的相关系数为 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ 越大，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的线性相关性越强 B . $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 随 $\text{[math]}$ 的增大而增大 D . $\text{[math]}$

某保险公司根据官方公布的历年营业收入，制成表格如下：

表1

年份	2011	2012	2013	2014	2015	2016	2017	2018	2019	2020
年份序号x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
营业收入y（亿元）	0.52	9.36	33.6	132	352	571	912	1207	1682	2135

由表1，得到下面的散点图：

根据已有的函数知识，某同学选用二次函数模型 $\text{[math]}$ （b和a是待定参数）来拟合y和x的关系.这时，可以对年份序号做变换，即令 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，由表1可得变换后的数据见表2.

表2

T	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100
Y	0.52	9.36	33.6	132	352	571	912	1207	1682	2135

（1）根据表中数据，建立y关于t的回归方程（系数精确到个位数）；
（2）根据（1）中得到的回归方程估计2021年的营业收入，以及营业收入首次超过4000亿元的年份.
附：对于一组数据 $\text{[math]}$ ，其回归直线 $\text{[math]}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

参考数据： $\text{[math]}$ .

某地建立了农业科技图书馆，供农民免费借阅，收集了近5年的借阅数据如下表：

年份	2016	2017	2018	2019	2020
年份代码x	1	2	3	4	5
年借阅量y/万册	4.9	5.1	5.5	5.7	5.8

根据上表，可得y关于x的线性回归方程为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . 估计近5年借阅量以0.24万册/年的速度增长 C . y与x的样本相关系数 $\text{[math]}$ D . 2021年的借阅量一定不少于6.12万册

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