题目

某种设备随着使用年限的增加，每年的维护费相应增加.现对一批该设备进行调查，得到这批设备自购入使用之日起，前5年平均每台设备每年的维护费用大致如表： 年份 （年） 1 2 3 4 5 维护费 （万元） 1.1 1.6 2 2.8 参考公式：用最小二乘法求线性回归方程 的系数公式： 已知 . （I）求表格中 的值； （II）从这5年中随机抽取两年，求平均每台设备每年的维护费用至少有1年多于2万元的概率； （Ⅲ）求 关于 的线性回归方程；并据此预测第几年开始平均每台设备每年的维护费用超过5万元. 答案：解：（Ⅰ）由 y¯=1.1+1.6+2+m+2.85=2⇒m=2.5 ． （Ⅱ）5年中平均每台设备每年的维护费用不超过2万元的有3年，分别编号为 a,b,c ；超过2万元的有2年，编号为 D,E ．随机抽取两年，基本事件为 (a,b),(a,c),(a,D),(a,E) ， (b,c),(b,D),(b,E) ， (c,D),(c,E) ， (D,E) 共10个，而且这些基本事件的出现是等可能的． 用 A 表示“抽取的2年中平均每台设备每年的维护费用至少有1年多于2万元”，则 A 包含的基本事件有 (a,D),(a,E),(b,D),(b,E),(c,D),(c,E),(D,E) 共7个，故 P(A)=710 ． （Ⅲ） x¯=3 ， y¯=2 ， x¯2=9,x¯y¯=6 ∑i=15xiyi=1.1+3.2+6+10+14=34.3 ， ∑i=15xi2=1+4+9+16+25=55 ∴ b^=∑i=15xiyi−nx¯y¯∑i=15xi2−nx¯2=34.3−3055−45=0.43 ， a^=y¯−b^x¯=2−0.43×3=0.71 所以回归方程为 y^=0.43x+0.71 ． 由题意有 0.43x+0.71>5⇒x>4.290.43≈9.98 ， 故第10年开始平均每台设备每年的维护费用超过5万元

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