题目

（1）探究新知： ①如图，已知AD∥BC，AD＝BC，点M，N是直线CD上任意两点．求证：△ABM与△ABN的面积相等．    ②如图，已知AD∥BE，AD＝BE，AB∥CD∥EF，点M是直线CD上任一点，点G是直线EF上任一点．试判断△ABM与△ABG的面积是否相等，并说明理由．   （2）结论应用：     如图③，抛物线的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点D．试探究在抛物线上是否存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等？ 若存在，请求出此时点E的坐标，若不存在，请说明理由．【改编】     答案：解： ﹙1﹚①证明：分别过点M，N作 ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为点E，F． ∵ AD∥BC，AD＝BC， ∴ 四边形ABCD为平行四边形．   ∴ AB∥CD．∴ ME＝ NF．                  ∵S△ABM＝，S△ABN＝， ∴ S△ABM＝ S△ABN．                      ②相等．理由如下：分别过点D，E作DH⊥AB，EK⊥AB，垂足分别为H，K． 则∠DHA＝∠EKB＝90°．∵ AD∥BE，∴ ∠DAH＝∠EBK．∵ AD＝BE， ∴ △DAH≌△EBK．  ∴ DH＝EK．                 ∵ CD∥AB∥EF，   ∴S△ABM＝，S△ABG＝，  ∴  S△ABM＝ S△ABG.                               ﹙2﹚答：存在． 解：因为抛物线的顶点坐标是C(1，4)，所以，可设抛物线的表达式为. 又因为抛物线经过点A(3，0)，将其坐标代入上式，得，解得. ∴ 该抛物线的表达式为，即．       ∴ D点坐标为（0，3）．                                     设直线AD的表达式为，代入点A的坐标，得，解得. ∴ 直线AD的表达式为．                           过C点作CG⊥x轴，垂足为G，交AD于点H．则H点的纵坐标为． ∴ CH＝CG－HG＝4－2＝2． 设点E的横坐标为m，则点E的纵坐标为．    过E点作EF⊥x轴，垂足为F，交AD于点P，则点P的纵坐标为，EF∥CG． 由﹙1﹚可知：若EP＝CH，则△ADE与△ADC的面积相等．        ①若E点在直线AD的上方﹙如图③-1﹚， 则PF＝，EF＝．                               ∴ EP＝EF－PF＝＝．∴ ．  解得，． 当时，PF＝3－2＝1，EF＝1+2＝3．  ∴ E点坐标为（2，3）．  同理 当m＝1时，E点坐标为（1，4），与C点重合．              ②若E点在直线AD的下方﹙如图③－2,③－3﹚， 则．                      ∴．解得，．  当时，E点的纵坐标为；    当时，E点的纵坐标为．     ∴ 在抛物线上存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等，E点的坐标为E1（2，3）；；．

查看本题答案和解析