平面的法向量知识点题库

已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α、β，下列命题中正确命题个数为（）
①若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$
②若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$
③若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$
④若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

已知直线l过点P（1，0，﹣1），平行于向量 $\text{[math]}$ =(2,1,1)，平面α过直线l与点M（1，2，3），则平面α的法向量不可能是（　　）

A . （1，﹣4，2） B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . （0，﹣1，1）

若两个不同平面α，β的法向量分别为 $\text{[math]}$ =（1，2，﹣1）， $\text{[math]}$ =（﹣3，﹣6，3），则（　　）

A . α∥β B . α⊥β C . α，β相交但不垂直 D . 以上均不正确

设直线l的方向向量是 $\text{[math]}$ =（﹣2，2，t），平面α的法向量 $\text{[math]}$ =（6，﹣6，12），若直线l⊥平面α，则实数t等于（）

A . 4 B . ﹣4 C . 2 D . ﹣2

已知点A（0，0，0），B（1，0，1），C（0，1，1），则平面ABC的一个法向量 $\text{[math]}$ 是（）

A . （1，1，1） B . （1，1，﹣1） C . （﹣1，1，1） D . （1，﹣1，1）

如图，四边形 $\text{[math]}$ 是矩形，四边形 $\text{[math]}$ 是梯形， $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）求证： $\text{[math]}$ ∥平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．

如图，在多面体 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形， $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）求证： $\text{[math]}$ ∥平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

过点 $\text{[math]}$ ，且一个法向量为 $\text{[math]}$ 的直线的点法向式方程是.

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，侧棱 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ，底面 $\text{[math]}$ 是直角梯形， $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 的中点．

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（1）求证： $\text{[math]}$ ∥平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值；
（3）设点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的动点， $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值．

已知平面 $\text{[math]}$ 上三点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则平面 $\text{[math]}$ 的一个法向量为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

若 $\text{[math]}$ 为空间直角坐标系的原点，则以 $\text{[math]}$ 为球心，且与平面 $\text{[math]}$ 相切的球的方程是，切点的坐标为．

若平面 $\text{[math]}$ 的一个法向量为 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 的一个法向量为 $\text{[math]}$ ，则平面 $\text{[math]}$ 和平面 $\text{[math]}$ 的位置关系是（）．

A . 平行 B . 相交但不垂直 C . 垂直 D . 重合

设直线 $\text{[math]}$ 的一个方向向量 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 的一个法向量 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的位置关系是（）

A . 垂直 B . 平行 C . 直线 $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 内 D . 直线 $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 内或平行

给出下列命题，其中为假命题的是（）

A . 已知 $\text{[math]}$ 为平面 $\text{[math]}$ 的一个法向量， $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 的一个方向向量，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 已知 $\text{[math]}$ 为平面 $\text{[math]}$ 的一个法向量， $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 的一个方向向量，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ C . 若三个向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两两共面，则向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 共面 D . 已知空间的三个向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则对于空间的任意一个向量 $\text{[math]}$ ，总存在实数 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$

已知平面 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是平面 $\text{[math]}$ 的法向量，则实数 $\text{[math]}$ （）

A . 3 B . -1 C . -2 D . -3

下列命题中，正确的有（）

A . $\text{[math]}$ 分别是平面 $\text{[math]}$ 的法向量，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 分别是平面 $\text{[math]}$ 的法向量，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 是平面 $\text{[math]}$ 的法向量， $\text{[math]}$ 是直线l的方向向量，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 是平面 $\text{[math]}$ 的法向量， $\text{[math]}$ 是直线l的方向向量，若 $\text{[math]}$ ，则l与平面 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$

下列说法不正确的是（）

A . 若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于30° B . 两条异面直线的夹角等于它们的方向向量的夹角 C . 二面角的大小范围是[0°，180°] D . 二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小

下列四个命题中，正确命题的个数是（）

①若 $\text{[math]}$ 是空间的一个基底，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得 $\text{[math]}$ ；

②若两条不同直线l，m的方向向量分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则l∥m $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；

③若 $\text{[math]}$ 是空间的一个基底，且 $\text{[math]}$ ，则A，B，C，D四点共面；

④若两个不同平面α，β的法向量分别是 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则α∥β．

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

已知棱长为3的正四面体 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是空间内的任一动点，且满足 $\text{[math]}$ ， E为AD中点，过点D的平面 $\text{[math]}$ 平面BCE，则平面 $\text{[math]}$ 截动点P的轨迹所形成的图形的面积为（）

A . π B . 2π C . 3π D . 4π

在空间直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求向量 $\text{[math]}$ 在向量 $\text{[math]}$ 上的投影向量 $\text{[math]}$ ；
（2）求平面 $\text{[math]}$ 的法向量；
（3）求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离．

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