题目

如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形， ∥ ，，且，，是棱的中点．（1）求证： ∥平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（3）设点是线段上的动点，与平面所成的角为，求的最大值．答案：证明：以点 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(1,0,0),S(0,0,2),M(0,1,1) ∴AM⇀=(0,1,1),SD⇀=(1,0,−2),CD⇀=(−1,−2,0) ，设平面 SCD 的一个法向量为 n =(x,y,z) 则 {SD⇀⋅CD⇀⋅ n=0n=0 ∴{x−2z=0−x−2y=0 ，令 z=1 ，得 n =(2,−1,1) ， ∴ AM⇀⋅ n=0 ，即 AM⇀⊥ n ∵ AM⊄ 平面 SCD ∴ AM ∥平面 SCD 解：取平面SAB的一个法向量 m =(1,0,0) ，则 cos 〈n,m〉= n⋅m|n|⋅|m| =21×6=63 ∴平面 SCD 与平面 SAB 所成的锐二面角的余弦值为 63 ．解：设 N(x,2x−2),(1≤x≤2) ，则 MN⇀=(x,2x−3,−1) ，平面 SAB 的一个法向量为 m =(1,0,0) ∴ sinθ=|cos<MN⇀, m> =|x5x2−12x+10|=110×(1x)2−12×1x+5=110×(1x−35)2+75 当 1x=35 ，即 x=53 时， sinθ 取得最大值，且 (sinθ)max=357

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